Exercices types : $$4$$^ème partie - Exercice 3

Notons $$x$$ ; $$x+1$$ et $$x+2$$ les trois nombres entiers naturels consécutifs recherchés.
Il nous faut donc résoudre l'équation : $$x^{2} +\left(x+1\right)^{2} +\left(x+2\right)^{2} =974$$
Ainsi :
$$x^{2} +\left(x+1\right)^{2} +\left(x+2\right)^{2} =974$$ équivaut successivement à :
$$x^{2} +x^{2} +2x+1+x^{2} +4x+4=974$$
$$3x^{2} +6x+5=974$$
$$3x^{2} +6x+5-974=0$$
$$3x^{2} +6x-969=0$$
Il s'agit d'une équation trinôme du second degré. Utilisons le discriminant afin de résoudre cette équation.
$$a=3$$ ; $$b=6$$ et $$c=-969$$
Calcul du discriminant : $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =6^{2} -4\times 3\times \left(-969\right)$$
$$\Delta =36+11628=11664$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-6-\sqrt{11664} }{2\times 3}$$ d'où $$x{}_{1} =-19$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-6+\sqrt{11664} }{2\times 3}$$ d'où $$x{}_{2} =17$$
Les racines de l'équation $$3x^{2} +6x-969=0$$ autrement dit de l'équation $$x^{2} +\left(x+1\right)^{2} +\left(x+2\right)^{2} =974$$ sont donc : $$S=\left\{-19;17\right\}$$
Or, d'après les hypothèses, les valeurs recherchées sont des entiers naturels. Il en résulte donc que la solution recherchée est alors $$17$$.
Les trois nombres entiers naturels consécutifs sont alors $$17$$, $$18$$ et $$19$$ .