Exercices types : $$4$$^ème partie - Exercice 2

Notons $$x$$ et $$y$$ respectivement la largeur et la longueur du rectangle recherché.
$$\red{\text{ D'une part :}}$$
Nous savons que l'aire du rectangle vaut $$16,25$$ cm$$^{2}$$ . Ainsi : $$x\times y=16,25$$
$$\red{\text{ D'autre part :}}$$
Nous savons que le périmètre du rectangle vaut $$18$$ cm. Ainsi : $$2x+2y=18$$ autrement dit $$x+y=9$$
La largeur $$x$$ et la longueur $$y$$ vérifient donc le système suivant :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {16,25} \\ {x+y} & {=} & {9} \end{array}\right.$$
Nous voulons résoudre $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}16,25}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}9}} \end{array}\right.$$
D'après le rappel, $$x$$ et $$y$$ sont donc solutions de l'équation $$x^{2}-{\color{red}9}x+{\color{blue}16,25}=0$$
On utilise le discriminant .
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-9$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=16,25$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-9\right)^{2} -4\times 1\times 16,25$$
$$\Delta =81-65=16$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-9\right)-\sqrt{16} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =\frac{5}{2}$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-9\right)+\sqrt{16} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =\frac{13}{2}$$
Les deux réels $$x$$ et $$y$$ vérifiant le système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {16,25} \\ {x+y} & {=} & {9} \end{array}\right.$$ sont les couples $$\left(\frac{5}{2};\frac{13}{2}\right)$$ et $$\left(\frac{13}{2};\frac{5}{2}\right)$$
Dans le contexte de l'exercice, on ne retient qu'un seul couple. En effet, dans un rectangle, la largeur est plus petite que la longueur.
Dans ce cas, un rectangle de périmètre $$18$$ cm et d'aire $$16,25$$ cm$$^{2}$$ admet une largeur de $$2,5$$ cm et une longueur de $$6,5$$ cm .