Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 4

Nous voulons résoudre $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {{\color{blue}80}} \\ {x+y} & {=} & {{\color{red}24}} \end{array}\right.$$
D'après le rappel, $$x$$ et $$y$$ sont donc solutions de l'équation $$x^{2}-{\color{red}24}x+{\color{blue}80}=0$$
On utilise le discriminant .
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-24$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=80$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-24\right)^{2} -4\times 1\times 80$$
$$\Delta =576-320=256$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-24\right)-\sqrt{256} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =4$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-24\right)+\sqrt{256} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =20$$
Les deux réels $$x$$ et $$y$$ vérifiant le système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} {xy} & {=} & {80} \\ {x+y} & {=} & {24} \end{array}\right.$$ sont les couples $$\left(4;20\right)$$ et $$\left(20;4\right)$$