Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 3

Soit $$ABC$$ un triangle tel que $$AB=4$$ cm ; $$AC=6$$ cm et $$BC=8$$ cm. Notons $$x$$ la longueur à ajouter afin d'obtenir un triangle rectangle.
De ce fait, nous aurons ainsi : $$AB=4+x$$ cm ; $$AC=6+x$$ cm et $$BC=8+x$$ cm
Pour que le triangle $$ABC$$ soit rectangle, il nous faut vérifier l'égalité de Pythagore.
Soit :
$$AB^{2} +AC^{2} =BC^{2}$$
$$\left(4+x\right)^{2} +\left(6+x\right)^{2} =\left(8+x\right)^{2}$$ équivaut successivement à :
$$4^{2} +2\times 4\times x+x^{2} +6^{2} +2\times 6\times x+x^{2} =8^{2} +2\times 8\times x+x^{2}$$
$$16+8x+x^{2} +36+12x+x^{2} =64+16x+x^{2}$$
$$2x^{2} +20x+52=x^{2} +16x+64$$
$$2x^{2} +20x+52-x^{2} -16x-64=0$$
$$x^{2} +4x-12=0$$ . On reconnaît une équation trinôme du second degré.
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =4^{2} -4\times 1\times \left(-12\right)$$
$$\Delta =64$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-4-\sqrt{64} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =-6$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-4+\sqrt{64} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =2$$
Les racines de l'équation $$x^{2} +4x-12=0$$ sont donc :
Ici, rappelons que $$x$$ correspond à une longueur. Dans ce cas, on rejette la valuer $$-6$$ car une distance ne peut pas être négative.
Dans ce cas, on rajoutant $$2$$ centimètres à chacun des cotés du triangle initial, nous aurons donc un triangle rectangle.
Finalement, le triangle $$ABC$$ tel que $$AB=4+2=6$$ cm ; $$AC=6+2=8$$ cm et $$BC=8+2=10$$ cm est un triangle rectangle en $$A$$.