Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Exercices types : 33ème partie - Exercice 3

15 min
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Question 1

Les mesures des côtés d'un triangle sont 44 ; 66 et 88 cm. Est-il possible d'ajouter une même longueur à chacun de ses cotés pour obtenir un triangle rectangle?

Correction
Soit ABCABC un triangle tel que AB=4AB=4 cm ; AC=6AC=6 cm et BC=8BC=8 cm. Notons xx la longueur à ajouter afin d'obtenir un triangle rectangle.
De ce fait, nous aurons ainsi : AB=4+xAB=4+x cm ; AC=6+xAC=6+x cm et BC=8+xBC=8+x cm
Pour que le triangle ABCABC soit rectangle, il nous faut vérifier l'égalité de Pythagore.
Soit :
AB2+AC2=BC2AB^{2} +AC^{2} =BC^{2}
(4+x)2+(6+x)2=(8+x)2\left(4+x\right)^{2} +\left(6+x\right)^{2} =\left(8+x\right)^{2} équivaut successivement à :
42+2×4×x+x2+62+2×6×x+x2=82+2×8×x+x24^{2} +2\times 4\times x+x^{2} +6^{2} +2\times 6\times x+x^{2} =8^{2} +2\times 8\times x+x^{2}
16+8x+x2+36+12x+x2=64+16x+x216+8x+x^{2} +36+12x+x^{2} =64+16x+x^{2}
2x2+20x+52=x2+16x+642x^{2} +20x+52=x^{2} +16x+64
2x2+20x+52x216x64=02x^{2} +20x+52-x^{2} -16x-64=0
x2+4x12=0x^{2} +4x-12=0 . On reconnaît une équation trinôme du second degré.
Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi : Δ=424×1×(12)\Delta =4^{2} -4\times 1\times \left(-12\right)
Δ=64\Delta =64
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=4642×1x{}_{1} =\frac{-4-\sqrt{64} }{2\times 1} d'où x1=6x{}_{1} =-6
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=4+642×1x{}_{2} =\frac{-4+\sqrt{64} }{2\times 1} d'où x2=2x{}_{2} =2
Les racines de l'équation x2+4x12=0x^{2} +4x-12=0 sont donc :
S={6;2}S=\left\{-6 ;2\right\}

Ici, rappelons que xx correspond à une longueur. Dans ce cas, on rejette la valuer 6-6 car une distance ne peut pas être négative.
Dans ce cas, on rajoutant 22 centimètres à chacun des cotés du triangle initial, nous aurons donc un triangle rectangle.
Finalement, le triangle ABCABC tel que AB=4+2=6AB=4+2=6 cm ; AC=6+2=8AC=6+2=8 cm et BC=8+2=10BC=8+2=10 cm est un triangle rectangle en AA.