Exercices types : $$3$$^ème partie - Exercice 2

Détermination de la hauteur :
La hauteur de l'arche correspond au maximum de la fonction. Il faut donc déterminer le sommet de la parabole. Autrement dit, il nous faut la forme canonique de la fonction $$f$$.
Pour faciliter les calculs, nous n'allons pas ici chercher la forme canonique. Nous allons détermine à l'aide des outils de la classe de seconde la formule du sommet de la parabole.
Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-3,3}{2\times\left(-0,66\right)}$$ d'où :
Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(2,5 \right)$$
$$\beta =-0,66\times2,5^{2} +3,3\times2,5$$

Donc la hauteur de l'arche est de : $$4,125$$ mètres
Détermination de la largeur :
La largeur de l'arche va correspondre à la distance entre les deux racines de $$f\left(x\right)$$.
$$-0,66x^{2} +3,3x=0$$ . On factorise par $$x$$
$$x\left(-0,66x +3,3\right)=0$$
On reconnait une équation produit nul.
Soit :
$$x=0$$ ou $$-0,66x +3,3=0$$
$$x=0$$ ou $$-0,66x=-3,3$$
$$x=0$$ ou $$x=\frac{-3,3}{-0,66}$$
$$x=0$$ ou $$x=5$$
L'équation a donc deux solutions :
Nous pouvons en conclure que la largeur de l'arche est de $$5-0=5$$ mètres. ( on fait la différence des racines )