Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 4

Autrement dit, il nous faut donc calculer $$C\left(0\right)$$.
Ainsi :
$$C\left(x\right)=0,05\times0^{2}+0+80$$

Les coûts fixes de l’entreprise s'élèvent à $$80$$ millions d'euros.

Tout d'abord la fonction $$C$$ est définie sur l'intervalle $$\left[0;85\right]$$ .
Il nous faut résoudre l'inéquation $$C\left(x\right)\ge200$$ .
$$C\left(x\right)\ge200$$ équivaut successivement à :
$$0,05x^{2}+x+80\ge200$$
$$0,05x^{2}+x-120\ge0$$
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=0,05$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=1$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-120$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =1^{2} -4\times 0,05\times \left(-120\right)$$
$$\Delta =1+24=25$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$0,05x^{2}+x-120$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-1-\sqrt{25} }{2\times 0,05}$$ d'où $$x_{1} =-60$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-1+\sqrt{25} }{2\times 0,05}$$ d'où $$x_{2} =40$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, le tableau du trinôme du second degré dépend du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=0,05>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que la fonction $$0,05x^{2}+x-120$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :
Finalement, les coûts de production sont supérieurs à $$200$$ millions à partir de $$40000$$ motos fabriquées et jusqu'à $$85000$$ motos fabriquées.

Une montant est vendue $$6000$$ euros. Il faut produire $$40000$$ motos pour avoir un coût de production égale à $$200$$ millions.
Ainsi : $$6000\times 40000=240 000 000$$.
La recette pour $$40000$$ motos fabriquées est de $$240$$ millions d'euros.

Chaque moto est vendue $$6$$ milliers d'euros. Il en résulte donc que :

Ainsi :
$$B\left(x\right)=R\left(x\right) -C\left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$B\left(x\right)=6x -\left(0,05x^{2}+x+80\right)$$
$$B\left(x\right)=6x -0,05x^{2}-x-80$$

Il nous faut résoudre l'inéquation $$B\left(x\right)\ge0$$.
$$B\left(x\right)\ge0$$ équivaut successivement à :
$$-0,05x^{2} + 5x - 80\ge0$$
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-0,05$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=5$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-80$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =5^{2} -4\times \left(-0,05\right)\times \left(-80\right)$$
$$\Delta =25-16=9$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$B$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-5-\sqrt{9} }{2\times \left(-0,05\right)}$$ d'où $$x_{1} =80$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-5+\sqrt{9} }{2\times \left(-0,05\right)}$$ d'où $$x_{2} =20$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, le tableau du trinôme du second degré dépend du signe de $$a$$.
Dans notre situation, $$a=-0,05<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que la fonction $$B$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :
En produisant entre $$20000$$ et $$80000$$ motos, le bénéfice sera positif.