Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Exercices types : 22ème partie - Exercice 3

25 min
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Question 1
Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=3x218x+24f\left(x\right)=3x^{2}-18x+24.

Déterminer la forme canonique de ff.

Correction
On va commencer par factoriser par le nombre devant le x2x^{2} ici en l'occurrence 33.
f(x)=3×[x26x+8]f\left(x\right)=3\times \left[x^{2} -6x+8\right]
On va maintenant prendre le coefficient devant le xx ici 6-6 et le multiplier par 12\frac{1}{2} .
On a ainsi, ci-dessous :
f(x)=3×[(x6×12)2(6×12)2+8]f\left(x\right)=3\times \left[\left(x-6\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2} +8\right]
En effet, si on développe (x6×12)2\left(x-6\times \frac{1}{2} \right)^{2} on obtiendra x26x+(6×12)2x^{2} -6x+\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2} c'est pour cela que l'on retranche (6×12)2\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2} .
On a :
f(x)=3×[(x6×12)2(6×12)2+8]f\left(x\right)=3\times \left[\left(x-6\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2} +8\right] qui s'écrit après simplification
f(x)=3[(x3)232+8]f\left(x\right)=3\left[\left(x-3 \right)^{2} -3^{2} +8\right]
f(x)=3[(x3)29+8]f\left(x\right)=3\left[\left(x-3 \right)^{2} -9+8\right]
f(x)=3[(x3)21]f\left(x\right)=3\left[\left(x-3 \right)^{2} -1\right]. On développe l'expression par 33.
f(x)=3(x3)23f\left(x\right)=3\left(x-3\right)^{2}-3
. Cette expression est la forme canonique de ff.
Question 2

Résoudre f(x)=0f\left(x\right)=0

Correction
f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
3x218x+24=03x^{2}-18x+24=0
Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi : Δ=(18)24×3×24\Delta =\left(-18\right)^{2} -4\times 3\times 24
Δ=324288=36\Delta =324-288=36
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(18)362×3x{}_{1} =\frac{-\left(-18\right)-\sqrt{36} }{2\times 3} d'où x1=2x{}_{1} =2
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(18)+362×3x{}_{2} =\frac{-\left(-18\right)+\sqrt{36} }{2\times 3} d'où x2=4x{}_{2} =4
Les racines de l'équation 3x218x+24=03x^{2}-18x+24=0 sont donc :
S={2;4}S=\left\{2;4 \right\}
Question 3

En déduire la forme factorisée de ff.

Correction
Forme factorisée d'un trinôme du second degré.
  • Si Δ>0\Delta >0 et que nous connaissons les racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , alors la factorisation est de la forme a(xx1)(xx2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right).
  • Si Δ=0\Delta =0 et que nous connaissons la racine x0x{}_{0} , alors la factorisation est de la forme a(xx0)2a\left(x-x_{0} \right)^{2} .
  • Si Δ<0\Delta <0, on ne peut pas factoriser la fonction ff dans R\mathbb{R}.
Ainsi, la forme factorisée de ff est :
f(x)=3(x2)(x4)f\left(x\right)=3\left(x-2\right)\left(x-4\right)
Question 4
En choisissant la forme la plus adaptée de ff :

Calculer f(0)f\left(0\right) ; f(4)f\left(4\right) et f(37)f\left(3-\sqrt{7}\right) .

Correction
  • Pour calculer f(0)f\left(0\right) , prenons la forme développée f(x)=3x218x+24f\left(x\right)=3x^{2}-18x+24. Ainsi :
  • f(0)=3×0218×0+24f\left(0\right)=3\times0^{2}-18\times0+24 d'où
    f(0)=24f\left(0\right)=24
  • Pour calculer f(4)f\left(4\right) , prenons la forme factorisée f(x)=3(x2)(x4)f\left(x\right)=3\left(x-2\right)\left(x-4\right). Ainsi :
  • f(4)=3×(42)×(44)f\left(4\right)=3\times\left(4-2\right)\times\left(4-4\right)
    f(4)=3×2×0f\left(4\right)=3\times2\times0 d'où
    f(4)=0f\left(4\right)=0
  • Pour calculer f(37)f\left(3-\sqrt{7}\right) , prenons la forme canonique f(x)=3(x3)23f\left(x\right)=3\left(x-3\right)^{2}-3. Ainsi :
  • f(37)=3(373)23f\left(3-\sqrt{7}\right)=3\left(3-\sqrt{7}-3\right)^{2}-3
    f(37)=3(7)23f\left(3-\sqrt{7}\right)=3\left(-\sqrt{7}\right)^{2}-3
    f(37)=3×73f\left(3-\sqrt{7}\right)=3\times7-3 d'où
    f(37)=213=18f\left(3-\sqrt{7}\right)=21-3=18
    Question 5
    En choisissant la forme la plus adaptée de ff :

    f(x)=24f\left(x\right)=24

    Correction
  • Pour résoudre f(x)=24f\left(x\right)=24 , prenons la forme développée f(x)=3x218x+24f\left(x\right)=3x^{2}-18x+24. Ainsi :
  • f(x)=24f\left(x\right)=24 équivaut successivement à :
    3x218x+24=243x^{2}-18x+24=24
    3x218x=24243x^{2}-18x=24-24
    3x218x=03x^{2}-18x=0
    On factorise par xx
    x(3x18)=0x\left(3x-18\right)=0
    On reconnait une équation produit nul.
    Soit :
    x=0x=0 ou 3x18=03x-18=0
    x=0x=0 ou 3x=183x=18
    x=0x=0 ou x=183x=\frac{18}{3}
    x=0x=0 ou x=6x=6
    L'équation a donc deux solutions :
    S={0;6}S=\left\{0;6 \right\}
    Question 6

    Résoudre f(x)=9f\left(x\right)=-9

    Correction
  • Pour résoudre f(x)=9f\left(x\right)=-9 , prenons la forme canonique f(x)=3(x3)23f\left(x\right)=3\left(x-3\right)^{2}-3. Ainsi :
  • f(x)=9f\left(x\right)=-9 équivaut successivement à :
    3(x3)23=93\left(x-3\right)^{2}-3=-9
    3(x3)2=9+33\left(x-3\right)^{2}=-9+3
    3(x3)2=63\left(x-3\right)^{2}=-6
    (x3)2=63\left(x-3\right)^{2}=\frac{-6}{3}
    (x3)2=2\left(x-3\right)^{2}=-2
    Or, un carré est positif ou nul, donc l'équation f(x)=9f\left(x\right)=-9 n'admet pas de solution.