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Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Exercices types : 22ème partie - Exercice 1

25 min
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Question 1
Un rectangle ABCDABCD a pour dimensions : AD=2AD=2 cm et AB=6AB=6 cm. On cherche s'il existe une ou plusieurs positions du point MM sur le segment [DC]\left[DC\right] tel que le triangle AMBAMB soit rectangle en MM. On note DM=xDM=x.

Dans quel intervalle varie xx.

Correction
On sait que :
AD=BC=2AD=BC=2 cm et AB=DC=6AB=DC=6 cm et que DM=xDM=x
Le segment [DM]\left[DM\right] est inférieure ou égale à la mesure du segment [DC]\left[DC\right].
Ainsi :
x[0;6]x\in \left[0;6\right]
Question 2

Justifier, que quelle que soit la position du point MM dans le segment [DC]\left[DC\right], on a : AM2=x2+4AM^{2} =x^{2} +4

Correction
Le triangle ADMADM est rectangle en DD. D'après le théorème de Pythagore, on a :
AM2=DM2+AD2AM^{2} = DM^{2}+AD^{2}
AM2=x2+22AM^{2} = x^{2}+2^{2}
Ainsi :
AM2=x2+4AM^{2} =x^{2}+4

Question 3

Justifier, que quelle que soit la position du point MM dans le segment [DC]\left[DC\right], on a : BM2=x212x+40BM^{2} =x^{2}-12x+40

Correction
Le triangle BCMBCM est rectangle en CC. D'après le théorème de Pythagore, on a :
BM2=BC2+CM2BM^{2} =BC^{2} +CM^{2}
Or : CM=CDMDCM=CD-MD ce qui nous donne : CM=6xCM=6-x
Il vient alors que :
BM2=22+(6x)2BM^{2} =2^{2} +\left(6-x\right)^{2}
BM2=22+3612x+x2BM^{2} =2^{2}+36-12x+x^{2}
Ainsi :
BM2=x212x+40BM^{2} =x^{2}-12x+40
Question 4

En déduire que le triangle AMBAMB est rectangle en MM si et seulement si : x26x+4=0x^{2}-6x+4=0

Correction
Le triangle AMBAMB est rectangle en MM s'il vérifie la réciproque du théorème de Pythagore, il nous faut donc que : AM2+BM2=AB2AM^{2} +BM^{2}=AB^{2}
Or nous savons que : AM2=x2+4AM^{2} =x^{2} +4 ; BM2=x212x+40BM^{2} =x^{2}-12x+40 et enfin que AB2=62AB^{2} =6^{2}.
On a donc :
AM2+BM2=AB2AM^{2} +BM^{2}=AB^{2} équivaut successivement à :
x2+4+x212x+40=36x^{2} +4+x^{2}-12x+40=36
2x212x+8=02x^{2}-12x+8=0 . On divise tout par 22, ainsi :
x26x+4=0x^{2}-6x+4=0

On a bien vérifié que le triangle AMBAMB est rectangle en MM si et seulement si : x26x+4=0x^{2}-6x+4=0
Question 5

Résoudre dans R\mathbb{R} l'équation précédente.

Correction
Résolvons : x26x+4=0x^{2}-6x+4=0
Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi : Δ=(6)24×1×4\Delta =\left(-6\right)^{2} -4\times 1\times 4
Δ=3616=20\Delta =36-16=20
Comme Δ>0\Delta >0 alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(6)202×1x{}_{1} =\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{20} }{2\times 1} d'où x1=35x{}_{1} =3-\sqrt{5}
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(6)+202×1x{}_{2} =\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{20} }{2\times 1} d'où x2=3+5x{}_{2} =3+\sqrt{5}
Les racines de l'équation x26x+4=0x^{2} -6x+4=0 sont donc :
S={35;3+5}S=\left\{3-\sqrt{5} ;3+\sqrt{5} \right\}
Question 6

Donner une valeur approchée à 0,10,1 près des éventuelles solutions. Répondre à la problématique de l'exercice.

Correction
x1=35x{}_{1} =3-\sqrt{5} donc x10,8x{}_{1} \approx0,8
x2=3+5x{}_{2} =3+\sqrt{5} donc x25,2x{}_{2} \approx5,2
Il existe deux positions possible pour le point MM sur le segment [DC]\left[DC\right] tel que le triangle AMBAMB soit rectangle en MM.
Il suffit que DM=35DM =3-\sqrt{5} cm ou alors que DM=3+5DM=3+\sqrt{5} cm.