Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Exercices types : 11ère partie - Exercice 5

20 min
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Question 1

Résoudre, dans R\mathbb{R}, l'inéquation 5x24x+12x10\frac{-5x^{2} -4x+12}{x-1} \ge 0.

Correction
Commençons à étudier le signe du numérateur puis celui du dénominateur.
On regroupera ensuite l'ensemble des informations obtenues dans un tableau de signe.
Première étape : étude du signe du numérateur 5x24x+12{\color{blue}{-5x^{2} -4x+12}}.
Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac ainsi : Δ=(4)24×(5)×12\Delta =\left(-4\right)^{2} -4\times \left(-5\right)\times 12
Δ=16+240=256\Delta =16+240=256
Comme Δ>0\Delta >0 alors le numérateur admet deux racines réelles distinctes notées x1x{}_{1} et x2x{}_{2} telles que :
x1=bΔ2ax{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=42562×(5)x{}_{1} =\frac{4-\sqrt{256} }{2\times \left(-5\right)} d'où x1=65x{}_{1} =\frac{6}{5}
x2=b+Δ2ax{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=4+2562×(5)x{}_{2} =\frac{4+\sqrt{256} }{2\times \left(-5\right)} d'où x2=2x{}_{2} =-2
a=5<0a=-5<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que le numérateur est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
Ainsi :
Deuxième étape : étude du signe du dénominateur x1{\color{blue}{x-1}}.
En ce qui concerne maintenant le signe du dénominateur, on a :
x10x1x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1
Cela signifie que l'on va mettre le signe + dans la ligne de x1x-1 lorsque xx sera supérieur ou égale à 11.
On traduit cela maintenant dans le tableau de signe complet, cela nous donne :

Il en résulte que les solutions de l'inéquation 5x24x+12x10\frac{-5x^{2} -4x+12}{x-1} \ge 0 sont alors :
S=];2]]1;65]S=\left]-\infty ;-2\right]\cup \left]1;\frac{6}{5} \right]
Question 2
On considère la fonction ff définie sur ];1[]1;+[\left]-\infty;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[ par f(x)=3x1f\left(x\right)=\frac{3}{x-1} et la fonction gg, définie sur R\mathbb{R} par g(x)=5x+9g\left(x\right)=5x+9.
On note CfC_{f} et CgC_{g} leurs représentations graphiques dans un repère.

Déterminer les valeurs de xx pour lesquelles CfC_{f} est au-dessus de CgC_{g} .

Correction
On cherche ici la position relative entre les courbes CfC_{f} et CgC_{g} .
Pour cela, il nous faut donc étudier le signe de la fonction d:xf(x)g(x)d:x\mapsto f\left(x\right)-g\left(x\right).
Il vient alors que :
d(x)=f(x)g(x)d\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right) équivaut successivement à :
d(x)=3x1(5x+9)d\left(x\right)=\frac{3}{x-1} -\left(5x+9\right)
d(x)=3x1(5x+91)d\left(x\right)=\frac{3}{x-1} -\left(\frac{5x+9}{1} \right)
Nous allons tout mettre au même dénominateur.
d(x)=3x1((5x+9)×(x1)1×(x1))d\left(x\right)=\frac{3}{x-1} -\left(\frac{\left(5x+9\right)\times \left(x-1\right)}{1\times \left(x-1\right)} \right)
d(x)=3(5x+9)×(x1)x1d\left(x\right)=\frac{3-\left(5x+9\right)\times \left(x-1\right)}{x-1}
d(x)=3(5x25x+9x9)x1d\left(x\right)=\frac{3-\left(5x^{2} -5x+9x-9\right)}{x-1}
d(x)=3(5x2+4x9)x1d\left(x\right)=\frac{3-\left(5x^{2} +4x-9\right)}{x-1}
d(x)=35x24x+9x1d\left(x\right)=\frac{3-5x^{2} -4x+9}{x-1}
d(x)=5x24x+12x1.d\left(x\right)=\frac{-5x^{2} -4x+12}{x-1} .
Or la fonction dd est celle que l'on a étudiée à la question 11.
Ainsi d'après la question 11, on a :
Les valeurs de xx pour lesquelles CfC_{f} est au-dessus de CgC_{g} sont déterminées à l'aide de l'inéquation 5x24x+12x10\frac{-5x^{2} -4x+12}{x-1} \ge 0 , autrement dit quand d(x)0d\left(x\right)\ge 0.
Ainsi : S=];2]]1;65]S=\left]-\infty ;-2\right]\cup \left]1;\frac{6}{5} \right]
Autrement dit sur les intervalles ];2]\left]-\infty ;-2\right] et ]1;65]\left]1;\frac{6}{5} \right], la courbe CfC_{f} est au-dessus de CgC_{g} .