Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 5

Commençons à étudier le signe du numérateur puis celui du dénominateur.
On regroupera ensuite l'ensemble des informations obtenues dans un tableau de signe.
Première étape : étude du signe du numérateur $${\color{blue}{-5x^{2} -4x+12}}$$.
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$ ainsi : $$\Delta =\left(-4\right)^{2} -4\times \left(-5\right)\times 12$$
$$\Delta =16+240=256$$
Comme $$\Delta >0$$ alors le numérateur admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{4-\sqrt{256} }{2\times \left(-5\right)}$$ d'où $$x{}_{1} =\frac{6}{5}$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{4+\sqrt{256} }{2\times \left(-5\right)}$$ d'où $$x{}_{2} =-2$$
$$a=-5<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que le numérateur est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Ainsi :
Deuxième étape : étude du signe du dénominateur $${\color{blue}{x-1}}$$.
En ce qui concerne maintenant le signe du dénominateur, on a :
$$x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe + dans la ligne de $$x-1$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$1$$.
On traduit cela maintenant dans le tableau de signe complet, cela nous donne :

Il en résulte que les solutions de l'inéquation $$\frac{-5x^{2} -4x+12}{x-1} \ge 0$$ sont alors :
$$S=\left]-\infty ;-2\right]\cup \left]1;\frac{6}{5} \right]$$

On cherche ici la position relative entre les courbes $$C_{f}$$ et $$C_{g}$$.
Pour cela, il nous faut donc étudier le signe de la fonction $$d:x\mapsto f\left(x\right)-g\left(x\right)$$.
Il vient alors que :
$$d\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$$ équivaut successivement à :
$$d\left(x\right)=\frac{3}{x-1} -\left(5x+9\right)$$
$$d\left(x\right)=\frac{3}{x-1} -\left(\frac{5x+9}{1} \right)$$
Nous allons tout mettre au même dénominateur.
$$d\left(x\right)=\frac{3}{x-1} -\left(\frac{\left(5x+9\right)\times \left(x-1\right)}{1\times \left(x-1\right)} \right)$$
$$d\left(x\right)=\frac{3-\left(5x+9\right)\times \left(x-1\right)}{x-1}$$
$$d\left(x\right)=\frac{3-\left(5x^{2} -5x+9x-9\right)}{x-1}$$
$$d\left(x\right)=\frac{3-\left(5x^{2} +4x-9\right)}{x-1}$$
$$d\left(x\right)=\frac{3-5x^{2} -4x+9}{x-1}$$
$$d\left(x\right)=\frac{-5x^{2} -4x+12}{x-1} .$$
Or la fonction $$d$$ est celle que l'on a étudiée à la question $$1$$.
Ainsi d'après la question $$1$$, on a :
Les valeurs de $$x$$ pour lesquelles $$C_{f}$$ est au-dessus de $$C_{g}$$ sont déterminées à l'aide de l'inéquation $$\frac{-5x^{2} -4x+12}{x-1} \ge 0$$ , autrement dit quand $$d\left(x\right)\ge 0$$.
Ainsi : $$S=\left]-\infty ;-2\right]\cup \left]1;\frac{6}{5} \right]$$
Autrement dit sur les intervalles $$\left]-\infty ;-2\right]$$ et $$\left]1;\frac{6}{5} \right]$$, la courbe $$C_{f}$$ est au-dessus de $$C_{g}$$.