Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 4

On sait que :
$$AB=7cm$$ et $$AD=5cm$$
$$DQ=x$$
Le segment $$\left[DQ\right]$$ est inférieure ou égale à la mesure du segment $$\left[AD\right]$$.
Ainsi : $$x\in \left[0;5\right]$$

On va commencer par calculer les aires des triangles rectangles $$MAQ$$ , $$QDP$$, $$PCN$$ et enfin $$NBM$$.

L'aire du triangle $$MAQ$$ rectangle en $$A$$ :
$$\text{Aire}\left(MAQ\right)=\frac{base \times hauteur}{2}$$
$$\text{Aire}\left(MAQ\right)=\frac{AQ\times AM}{2}$$

L'aire du triangle $$QDP$$ rectangle en $$D$$ :
$$\text{Aire}\left(QDP\right)=\frac{base \times hauteur}{2}$$
$$\text{Aire}\left(QDP\right)=\frac{DP\times DQ}{2}$$

L'aire du triangle $$PCN$$ rectangle en $$C$$ :
$$\text{Aire}\left(PCN\right)=\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$$
$$\text{Aire}\left(PCN\right)=\frac{NC\times PC}{2}$$

L'aire du triangle $$NBM$$ rectangle en $$B$$ :
$$\text{Aire}\left(NBM\right)=\frac{base \times hauteur}{2}$$
$$\text{Aire}\left(NBM\right)=\frac{BM\times BN}{2}$$

Maintenant, calculons l'aire $$S\left(x\right)$$ du quadrilatère $$MNPQ$$ :
$$S\left(x\right)=Aire\left(ABCD\right)-\left[Aire\left(MAQ\right)+Aire\left(QDP\right)+Aire\left(PCN\right)+Aire\left(NBM\right)\right]$$
$$S\left(x\right)=5\times 7-\left[\frac{\left(5-x\right)\times x}{2} +\frac{\left(7-x\right)\times x}{2} +\frac{\left(5-x\right)\times x}{2} +\frac{\left(7-x\right)\times x}{2} \right]$$
$$S\left(x\right)=35-\left[2\times \frac{\left(5-x\right)\times x}{2} +2\times \frac{\left(7-x\right)\times x}{2} \right]$$
$$S\left(x\right)=35-\left[\left(5-x\right)\times x+\left(7-x\right)\times x\right]$$
$$S\left(x\right)=35-\left[5x-x^{2} +7x-x^{2} \right]$$
$$S\left(x\right)=35-\left[-2x^{2} +12x\right]$$

On sait que $$S\left(x\right)=35+2x^{2} -12x$$ et nous voulons que $$S\left(x\right)=19$$.

Il en résulte que :
$$35+2x^{2} -12x=19$$
$$2x^{2} -12x+35-19=0$$
$$2x^{2} -12x+16=0$$
On divise tout par deux, et on obtient :
$$x^{2} -6x+8=0$$

Résolvons : $$x^{2} -6x+8=0$$
Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi : $$\Delta =\left(-6\right)^{2} -4\times 1\times 8$$
$$\Delta =36-32=4$$
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =2$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{4} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =4$$
Les racines de l'équation $$x^{2} -6x+8=0$$ sont donc : $$S=\left\{2;4\right\}$$

L'aire du quadrilatère $$MNPQ$$ est égale à $$19cm^{2}$$ lorsque $$x=2$$ ou alors lorsque $$x=4$$.