Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Exercices types : 11ère partie - Exercice 3

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Question 1

Soit ff un polynôme du second degré de la forme 2x2+bx+c2x^{2}+bx+c avec x1=3x_{1}=3 et x2=−4x_{2}=-4 deux racines de ff. Déterminer les coefficients de bb et cc .

Correction
Si l'équation ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0 admet deux racines x1x_{1} et x2x_{2} alors :
  • la somme des racines est égale à −ba-\frac{b}{a} autrement dit x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}
  • le produit des racines est égale à ca\frac{c}{a} autrement dit x1×x2=cax_{1}\times x_{2}=\frac{c}{a}
    • Soit f(x)=2x2+bx+cf\left(x\right)=2x^{2}+bx+c . Nous savons que a=2a=2 et que les racines de ff sont x1=3x_{1}=3 et x2=−4x_{2}=-4. Il en résulte que :
    3+(−4)=−b2⇔−1=−b2⇔3+\left(-4\right)=\frac{-b}{2} \Leftrightarrow -1=\frac{-b}{2} \Leftrightarrow
    b=2b=2

    3×(−4)=c2⇔−12=c2⇔3\times \left(-4\right)=\frac{c}{2} \Leftrightarrow -12=\frac{c}{2} \Leftrightarrow
    c=−24c=-24

    ff s'écrit alors f(x)=2x2+2x−24f\left(x\right)=2x^{2}+2x-24