Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Exercices types : $1$ ^ère partie - Exercice 1

25 min

Question 1

f

est une fonction polynôme du second degré définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=ax^2+bx+c

(avec

a\ne 0

)
Dans chacun des cas suivants, répondre aux questions suivantes :

Le tableau de variation de $f$ est donné ci-dessous :

Correction

On sait que le tableau de variation de

f

est de la forme :

La fonction $f$ admet un minimum donc
$a>0$
Le minimum de fonction $f$ est atteint pour $x=-3$ ainsi :
$-\dfrac{b}{2a}=-3$
Le minimum de fonction $f$ est égal à $2$ par conséquent , pour tout réel $x$ , $f\left(x\right)>2$ donc l'équation $f\left(x\right)=0$ n'a pas de solution. D'où :
$\Delta<0$
Pour obtenir la valeur de $c$ , il suffit de calculer $f\left(0\right)$ . Or ici, pour tout réel $x$ , $f\left(x\right)>2$ donc l'équation $f\left(0\right)>0$ . Ainsi :
$c>0$

Question 2

Correction

On sait que le tableau de variation de

f

est de la forme :

La fonction $f$ admet un maximum donc
$a<0$
Le maximum de fonction $f$ est atteint pour $x=4$ ainsi :
$-\dfrac{b}{2a}=4$
Le maximum de fonction $f$ est égal à $0$ par conséquent , pour tout réel $x$ , l'équation $f\left(x\right)=0$ a une unique solution. D'où :
$\Delta=0$
Pour obtenir la valeur de $c$ , il suffit de calculer $f\left(0\right)$ . Sur l'intervalle $\left]-\infty ;4\right]$ , la fonction est croissante. Comme $0<4$ alors $f\left(0\right)<f\left(4\right)$ et comme $f\left(4\right)=0$ alors $f\left(0\right)<0$ . Il en résulte que :
$c<0$

Question 3

Correction

On sait que la parabole à l'allure suivante :

La parabole est tournée vers le haut et admet un minimum donc
$a>0$
Le minimum de fonction $f$ est atteint pour $x=2$ ainsi :
$-\dfrac{b}{2a}=2$
La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions. D'où :
$\Delta>0$
Pour obtenir la valeur de $c$ , il suffit de lire l'image de $0$ . La parabole coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive donc
$c>0$

Question 4

Correction

On sait que la parabole à l'allure suivante :

La parabole est tournée vers le bas et admet un maximum donc
$a<0$
Le maximum de fonction $f$ est atteint pour $x=1$ ainsi :
$-\dfrac{b}{2a}=1$
La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points donc l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions. D'où :
$\Delta>0$
Pour obtenir la valeur de $c$ , il suffit de lire l'image de $0$ . La parabole coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive donc
$c>0$

Question 5

Correction

On sait que la parabole à l'allure suivante :

La parabole est tournée vers le haut et admet un minimum donc
$a>0$
Le minimum de fonction $f$ est atteint pour $x=1$ ainsi :
$-\dfrac{b}{2a}=1$
La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses donc l'équation $f\left(x\right)=0$ n'admet pas de solutions réelles. D'où :
$\Delta<0$
Pour obtenir la valeur de $c$ , il suffit de lire l'image de $0$ . La parabole coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive donc
$c>0$