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Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

25 min
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Question 1
ff est une fonction polynôme du second degré définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c (avec a0a\ne 0 )
Dans chacun des cas suivants, répondre aux questions suivantes :
  • Quel est le signe de aa ?
  • Quelle est la valeur de b2a-\dfrac{b}{2a} ?
  • Quel est le signe du discriminant Δ\Delta ?
  • Quel est le signe de cc ?

Le tableau de variation de ff est donné ci-dessous :

Correction
On sait que le tableau de variation de ff est de la forme :

  • La fonction ff admet un minimum donc
    a>0 a>0
  • Le minimum de fonction ff est atteint pour x=3x=-3 ainsi :
    b2a=3 -\dfrac{b}{2a}=-3
  • Le minimum de fonction ff est égal à 22 par conséquent , pour tout réel xx, f(x)>2f\left(x\right)>2 donc l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'a pas de solution. D'où :
    Δ<0\Delta<0
  • Pour obtenir la valeur de cc, il suffit de calculer f(0)f\left(0\right) . Or ici, pour tout réel xx , f(x)>2f\left(x\right)>2 donc l'équation f(0)>0f\left(0\right)>0 . Ainsi :
    c>0c>0
Question 2

Le tableau de variation de ff est donné ci-dessous :

Correction
On sait que le tableau de variation de ff est de la forme :
  • La fonction ff admet un maximum donc
    a<0 a<0
  • Le maximum de fonction ff est atteint pour x=4x=4 ainsi :
    b2a=4 -\dfrac{b}{2a}=4
  • Le maximum de fonction ff est égal à 00 par conséquent , pour tout réel xx, l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 a une unique solution. D'où :
    Δ=0\Delta=0
  • Pour obtenir la valeur de cc, il suffit de calculer f(0)f\left(0\right) . Sur l'intervalle ];4]\left]-\infty ;4\right], la fonction est croissante. Comme 0<40<4 alors f(0)<f(4)f\left(0\right)<f\left(4\right) et comme f(4)=0f\left(4\right)=0 alors f(0)<0f\left(0\right)<0. Il en résulte que :
    c<0c<0
Question 3

La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction ff :

Correction
On sait que la parabole à l'allure suivante :
  • La parabole est tournée vers le haut et admet un minimum donc
    a>0 a>0
  • Le minimum de fonction ff est atteint pour x=2x=2 ainsi :
    b2a=2 -\dfrac{b}{2a}=2
  • La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points donc l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet deux solutions. D'où :
    Δ>0\Delta>0
  • Pour obtenir la valeur de cc, il suffit de lire l'image de 00. La parabole coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive donc
    c>0c>0
Question 4

La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction ff :

Correction
On sait que la parabole à l'allure suivante :
  • La parabole est tournée vers le bas et admet un maximum donc
    a<0 a<0
  • Le maximum de fonction ff est atteint pour x=1x=1 ainsi :
    b2a=1 -\dfrac{b}{2a}=1
  • La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points donc l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admet deux solutions. D'où :
    Δ>0\Delta>0
  • Pour obtenir la valeur de cc, il suffit de lire l'image de 00. La parabole coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive donc
    c>0c>0
Question 5

La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction ff :

Correction
On sait que la parabole à l'allure suivante :
  • La parabole est tournée vers le haut et admet un minimum donc
    a>0 a>0
  • Le minimum de fonction ff est atteint pour x=1x=1 ainsi :
    b2a=1 -\dfrac{b}{2a}=1
  • La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses donc l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'admet pas de solutions réelles. D'où :
    Δ<0\Delta<0
  • Pour obtenir la valeur de cc, il suffit de lire l'image de 00. La parabole coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive donc
    c>0c>0