f est une fonction polynôme du second degré définie sur R par f(x)=ax2+bx+c (avec a=0 ) Dans chacun des cas suivants, répondre aux questions suivantes :
Quel est le signe de a ?
Quelle est la valeur de −2ab ?
Quel est le signe du discriminant Δ ?
Quel est le signe de c ?
Le tableau de variation de f est donné ci-dessous :
Correction
On sait que le tableau de variation de f est de la forme :
La fonction f admet un minimum donc
a>0
Le minimum de fonction f est atteint pour x=−3 ainsi :
−2ab=−3
Le minimum de fonction f est égal à 2 par conséquent , pour tout réel x, f(x)>2 donc l'équation f(x)=0 n'a pas de solution. D'où :
Δ<0
Pour obtenir la valeur de c, il suffit de calculer f(0) . Or ici, pour tout réel x , f(x)>2 donc l'équation f(0)>0 . Ainsi :
c>0
Question 2
Le tableau de variation de f est donné ci-dessous :
Correction
On sait que le tableau de variation de f est de la forme :
La fonction f admet un maximum donc
a<0
Le maximum de fonction f est atteint pour x=4 ainsi :
−2ab=4
Le maximum de fonction f est égal à 0 par conséquent , pour tout réel x, l'équation f(x)=0 a une unique solution. D'où :
Δ=0
Pour obtenir la valeur de c, il suffit de calculer f(0) . Sur l'intervalle ]−∞;4], la fonction est croissante. Comme 0<4 alors f(0)<f(4) et comme f(4)=0 alors f(0)<0. Il en résulte que :
c<0
Question 3
La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction f :
Correction
On sait que la parabole à l'allure suivante :
La parabole est tournée vers le haut et admet un minimum donc
a>0
Le minimum de fonction f est atteint pour x=2 ainsi :
−2ab=2
La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points donc l'équation f(x)=0 admet deux solutions. D'où :
Δ>0
Pour obtenir la valeur de c, il suffit de lire l'image de 0. La parabole coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive donc
c>0
Question 4
La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction f :
Correction
On sait que la parabole à l'allure suivante :
La parabole est tournée vers le bas et admet un maximum donc
a<0
Le maximum de fonction f est atteint pour x=1 ainsi :
−2ab=1
La parabole coupe l'axe des abscisses en deux points donc l'équation f(x)=0 admet deux solutions. D'où :
Δ>0
Pour obtenir la valeur de c, il suffit de lire l'image de 0. La parabole coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive donc
c>0
Question 5
La parabole ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction f :
Correction
On sait que la parabole à l'allure suivante :
La parabole est tournée vers le haut et admet un minimum donc
a>0
Le minimum de fonction f est atteint pour x=1 ainsi :
−2ab=1
La parabole ne coupe pas l'axe des abscisses donc l'équation f(x)=0 n'admet pas de solutions réelles. D'où :
Δ<0
Pour obtenir la valeur de c, il suffit de lire l'image de 0. La parabole coupe l'axe des ordonnées en un point d'ordonnée positive donc
c>0
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