Equations... sympas - Exercice 1

L'équation est définie pour toutes les valeurs sauf celles qui annulent le dénominateur. Dans notre cas, la valeur interdite est $$x=0$$.
Pour tout réel $$x$$ non nul, on a :
$$\frac{5}{x}-6=-x$$ équivaut successivement à :
$$\frac{5}{x} -\frac{6}{1} =\frac{-x}{1}$$
$$\frac{5}{x} -\frac{6\times x}{1\times x} =\frac{-x\times x}{1\times x}$$
$$\frac{5}{x} -\frac{6x}{x} =\frac{-x^{2} }{x}$$
$$\frac{5}{x} -\frac{6x}{x} +\frac{x^{2} }{x} =0$$
$$\frac{5-6x+x^{2} }{x} =0$$
Ici la valeur interdite est $$0$$, mais dans nos hypothèses $$x$$ est un réel non nul, donc c'est parfait.
Ainsi : $$\frac{5-6x+x^{2} }{x} =0$$ équivaut à :
$$5-6x+x^{2} =0$$ que l'on peut écrire : $$x^{2}-6x+5 =0$$
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-6$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=5$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-6\right)^{2} -4\times 1\times 5$$
$$\Delta =36-20=16$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{16} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =1$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{16} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =5$$
Les racines de l'équation $$\frac{5}{x}-6=-x$$ sont donc $$S=\left\{1;5\right\}$$

L'équation est définie pour toutes les valeurs sauf celles qui annulent le dénominateur. Dans notre cas, les valeurs interdites sont $$x=5$$ et $$x=-3$$
L'équation est donc définie pour tout réel $$x\in \left]-\infty ;-3\right[\cup \left]-3;5\right[\cup \left]5;+\infty \right[$$ .
Ainsi , pour tout réel $$x\in \left]-\infty ;-3\right[\cup \left]-3;5\right[\cup \left]5;+\infty \right[$$ , on a :
$$\frac{x}{x-5} +\frac{1}{x+3} =0$$ équivaut successivement à :
$$\frac{x\left(x+3\right)}{\left(x-5\right)\left(x+3\right)} +\frac{x-5}{\left(x-5\right)\left(x+3\right)} =0$$
$$\frac{x\left(x+3\right)+x-5}{\left(x-5\right)\left(x+3\right)} =0$$
$$\frac{x^{2} +3x+x-5}{\left(x-5\right)\left(x+3\right)} =0$$
$$\frac{x^{2} +4x-5}{\left(x-5\right)\left(x+3\right)} =0$$
Ici les valeurs interdites sont $$-3$$ et $$5$$ que l'on a déterminé précédemment. L'équation est bien définie pour tout réel $$x\in \left]-\infty ;-3\right[\cup \left]-3;5\right[\cup \left]5;+\infty \right[$$ .
Ainsi : $$\frac{x^{2} +4x-5}{\left(x-5\right)\left(x+3\right)} =0$$ équivaut à :
$$x^{2} +4x-5=0$$
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=4$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-5$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =4^{2} -4\times 1\times \left(-5\right)$$
$$\Delta =16+20=36$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors l'équation admet deux racines réelles distinctes notées $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$ telles que :
$$x{}_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{1} =\frac{-4-\sqrt{36} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{1} =-5$$
$$x{}_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x{}_{2} =\frac{-4+\sqrt{36} }{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{2} =1$$
Les racines de l'équation $$\frac{x}{x-5} +\frac{1}{x+3} =0$$ sont donc $$S=\left\{-5;1\right\}$$