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Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Equations se ramenant au second degré - Exercice 1

15 min
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Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes.
Précisez tout d'abord le domaine de définition.
Question 1

x2+2x1x+1=2x1\frac{x^{2} +2x-1}{x+1} =2x-1

Correction
AB=CDA×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
La valeur interdite est celle qui annule le dénominateur x+1x+1.
Ainsi x+1=0x+1=0 d'où x=1x=-1.
Le domaine de définition est : Df=];1[]1;+[D_{f} =\left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[.
Pour tout réel x];1[]1;+[x\in \left]-\infty ;-1\right[\cup \left]-1;+\infty \right[ , on a :
x2+2x1x+1=2x1\frac{x^{2} +2x-1}{x+1} =2x-1 équivaut successivement à :
x2+2x1x+1=2x11\frac{x^{2} +2x-1}{x+1} =\frac{2x-1}{1}
(x2+2x1)×1=(x+1)×(2x1)\left(x^{2} +2x-1\right)\times 1=\left(x+1\right)\times \left(2x-1\right)
x2+2x1=2x2x+2x1x^{2} +2x-1=2x^{2} -x+2x-1
x2+2x1=2x2+x1x^{2} +2x-1=2x^{2} +x-1
x2+2x12x2x+1=0x^{2} +2x-1-2x^{2} -x+1=0
x2+x=0-x^{2} +x=0
On reconnait une équation du second degré, mais ici on peut résoudre facilement cette équation sans passer par le discriminant.
On va factoriser l'expression par xx.
x2+x=0-x^{2} +x=0 devient alors :
x(x+1)=0x\left(-x+1\right)=0
Il s'agit d'une équation produit nulle.
Il en résulte que :
x=0x=0 ou x+1=0-x+1=0
x=0x=0 ou x=1x=1
Les solutions de l'équation x2+2x1x+1=2x1\frac{x^{2} +2x-1}{x+1} =2x-1 sont donc S={0;1}S=\left\{0;1\right\}.
Question 2

1+x2x+5=x+11x\frac{1+x}{2x+5} =\frac{x+1}{1-x}

Correction
Les valeurs interdites sont celles qui annulent le dénominateur 1x1-x et le dénominateur 2x+52x+5.
Ainsi :
1x=01-x=0 d'où x=1x=1.
2x+5=02x+5=0 d'où x=52x=-\frac{5}{2} .
Le domaine de définition est : Df=];52[]52;1[]1;+[D_{f} =\left]-\infty ;-\frac{5}{2} \right[\cup \left]-\frac{5}{2} ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[.
Pour tout réel x];52[]52;1[]1;+[x\in \left]-\infty ;-\frac{5}{2} \right[\cup \left]-\frac{5}{2} ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[ , on a :
1+x2x+5=x+11x\frac{1+x}{2x+5} =\frac{x+1}{1-x} équivaut successivement à :
AB=CDA×D=B×C\frac{A}{B} =\frac{C}{D} \Leftrightarrow A\times D=B\times C
(1+x)×(1x)=(2x+5)×(x+1)\left(1+x\right)\times \left(1-x\right)=\left(2x+5\right)\times \left(x+1\right)
1x2=2x2+2x+5x+51-x^{2} =2x^{2} +2x+5x+5
1x2=2x2+7x+51-x^{2} =2x^{2} +7x+5
1x22x27x5=01-x^{2} -2x^{2} -7x-5=0
3x27x4=0-3x^{2} -7x-4=0
On reconnait une équation du second degré.
On va utiliser le discriminant :Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi : Δ=(7)24×(3)×(4)\Delta =\left(-7\right)^{2} -4\times \left(-3\right)\times \left(-4\right)
Δ=4948=1\Delta =49-48=1
Donc :
Δ>0\Delta >0

L'équation admet deux racines réelles distinctes notées x1x_{1} et x2x_{2} telles que :
x1=bΔ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=712×(3)x_{1} =\frac{7-\sqrt{1} }{2\times \left(-3\right)} d'où x1=1x_{1} =-1
x2=b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=7+12×(3)x_{2} =\frac{7+\sqrt{1} }{2\times \left(-3\right)} d'où x2=43x_{2} =-\frac{4}{3}
Les solutions de l'équation 1+x2x+5=x+11x\frac{1+x}{2x+5} =\frac{x+1}{1-x} sont donc S={43;1}S=\left\{-\frac{4}{3} ;-1\right\}.