Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Equations du second degré avec paramètre - Exercice 2

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Soit mm un réel et ff la fonction trinôme définie par f(x)=2x2+3x+mf\left(x\right)=2x^{2} +3x+m.
Question 1

Pour quelle(s) valeur(s) de mm l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'a-t-elle aucune solution réelle ?

Correction
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=3b=3
  • c=c= nombre seul d'où c=mc=m
On va utiliser le discriminant :Δ=b2−4ac\Delta =b^{2} -4ac .
Ainsi : Δ=32−4×2×m\Delta =3^{2} -4\times 2\times m
D'où : Δ=9−8m\Delta =9-8m.
Pour que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'admette pas de solutions réelles, il faut Δ<0\Delta <0.
Il vient alors que 9−8m<09-8m<0 équivaut successivement à :
−8m<−9-8m<-9
m>−9−8m>\frac{-9}{-8}
m>98m>\frac{9}{8}
Finalement, si m∈]98;+∞[m\in \left]\frac{9}{8}; +\infty \right[ alors Δ<0\Delta <0 et l'équation n'admet donc aucune racine réelle.