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Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Equations du second degré avec paramètre - Exercice 1

10 min
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Soit mm un réel et ff la fonction trinôme définie par f(x)=mx2+2x−4f\left(x\right)=mx^{2} +2x-4.
Question 1

Pour quelle(s) valeur(s) de mm l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 a-t-elle une seule solution ?
Calculer alors cette racine.

Correction
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=ma=m
  • b=b= nombre devant xx d'où b=2b=2
  • c=c= nombre seul d'où c=−4c=-4
On va utiliser le discriminant :Δ=b2−4ac\Delta =b^{2} -4ac .
Ainsi : Δ=22−4×m×(−4)\Delta =2^{2} -4\times m\times \left(-4\right)
D'où : Δ=4+16m\Delta =4+16m.
Pour que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 admette une seule solution, il faut que Δ=0\Delta =0.
Il vient alors que 4+16m=04+16m=0 qui nous donne m=−14m=-\frac{1}{4} .
De plus, la racine est alors sous la forme : x0=−b2ax_{0} =\frac{-b}{2a} d'où : x0=−22×(−14)=4x_{0} =\frac{-2}{2\times \left(\frac{-1}{4} \right)} =4.
Question 2

Pour quelle(s) valeur(s) de mm l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'a-t-elle aucune solution réelle ?

Correction
D'après la question précédente, on sait que : Δ=4+16m\Delta =4+16m
Pour que l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 n'admette aucune racine, il faut que Δ<0\Delta <0.
Ainsi :
4+16m<04+16m<0 équivaut successivement à :
16m<−416m<-4
m<−416m<\frac{-4}{16}
m<−14m<\frac{-1}{4}
Finalement, si m∈]−∞;−14[m\in \left]-\infty ;\frac{-1}{4} \right[ alors Δ<0\Delta <0 et l'équation n'admet donc aucune racine réelle.