Deux questions issues des sujets de Métropole (12 juin et 11 septembre 2026) - Exercice 1

L'équation $$(E)$$ est une équation du second degré.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=1$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-u^{2}$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=1^{2}-4\times 1\times\left(-u^{2}\right)$$
$$\Delta=1+4u^{2}$$
Pour tout réel $$u$$, $$u^{2}\geqslant 0$$ donc $$4u^{2}\geqslant 0$$ et $$1+4u^{2}\geqslant 1$$.
Donc
Comme $$\Delta\gt 0$$ alors l'équation $$(E)$$ admet deux racines réelles distinctes, et cela quelle que soit la valeur du réel $$u$$.
Ainsi :

$$x\left(1-x\right)=4$$ équivaut successivement à :
$$x-x^{2}=4$$
$$-x^{2}+x-4=0$$. Il s'agit d'une équation du second degré.
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=1$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-4$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta=b^{2}-4ac$$
Ainsi :
$$\Delta=1^{2}-4\times\left(-1\right)\times\left(-4\right)$$
$$\Delta=1-16=-15$$
Donc 3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta\lt 0$$ alors l'équation n'admet aucune racine réelle.
Aucun réel $$x$$ ne vérifie donc $$x\left(1-x\right)=4$$.
Ainsi : Illustration : la parabole d'équation $$y=x\left(1-x\right)$$ a pour sommet le point $$S\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}\right)$$ : elle ne monte jamais jusqu'à la droite d'équation $$y=4$$.