Déterminer le signe d'un trinôme du second degré - Exercice 1

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=8$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-7$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =8^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-7\right)$$
$$\Delta =64-28=36$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$f$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-8-\sqrt{36} }{2\times \left(-1\right)}$$ d'où $$x_{1} =7$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-8+\sqrt{36} }{2\times \left(-1\right)}$$ d'où $$x_{2} =1$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :

• Si $$a>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
• Si $$a<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.

Il en résulte donc que :

Dans notre situation, $$a=-1<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :

Ainsi les solutions de l'inéquation $$-x^{2} +8x-7\ge 0$$ sont .

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-2$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=1$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-2\right)^{2} -4\times 1\times 1$$
$$\Delta =4-4=0$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =\frac{2}{2\times 1}$$ d'où $$x{}_{0} =1$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ et que nous connaissons la racine $$x{}_{0}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de $$a$$.

• Si $$a>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse $$x{}_{0}$$.
• Si $$a<0$$, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse $$x{}_{0}$$.

Il en résulte donc que :

Dans notre situation, $$a=1>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse $$1$$.
Il vient alors que :

Ainsi les solutions de l'inéquation $$x^{2} -2x+1>0$$ sont .

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-1$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-1$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-1\right)^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-1\right)$$
$$\Delta =1-4=-3$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta <0$$ alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Autrement dit, il n'y a pas de solution à l'équation $$-x^{2} -x-1=0$$ car $$\Delta <0$$.
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta <0$$, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de $$a$$.

• Si $$a>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
• Si $$a<0$$, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.

Il en résulte donc que :

Dans notre situation, $$a=-1<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
Il vient alors que :

Ainsi les solutions de l'inéquation $$-x^{2} -x-1>0$$ sont .

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=68$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-1075$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =68^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-1075\right)$$
$$\Delta =324$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$f$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-68-\sqrt{324} }{2\times \left(-1\right)}$$ d'où $$x_{1} =43$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-68+\sqrt{324} }{2\times \left(-1\right)}$$ d'où $$x_{2} =25$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :

• Si $$a>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
• Si $$a<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.

Il en résulte donc que :

Dans notre situation, $$a=-1<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :

Ainsi les solutions de l'inéquation $$-x^{2} +68x-1075\le 0$$ sont .

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-4$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=4$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=15$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =4^{2} -4\times \left(-4\right)\times 15$$
$$\Delta =256$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$f$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-4-\sqrt{256} }{2\times \left(-4\right)}$$ d'où $$x_{1} =\frac{5}{2}$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-4+\sqrt{256} }{2\times \left(-4\right)}$$ d'où $$x_{2} =-\frac{3}{2}$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :

• Si $$a>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
• Si $$a<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.

Il en résulte donc que :

Dans notre situation, $$a=-4<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :

Ainsi les solutions de l'inéquation $$-4x^{2} +4x+15> 0$$ sont .

1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-12$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=18$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-12\right)^{2} -4\times 2\times 18$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ alors l'équation admet une racine double réelle notée $$x{}_{0}$$ telle que :
$$x{}_{0} =\frac{-b}{2a}$$ ainsi $$x{}_{0} =\frac{-\left(-12\right)}{2\times 2}$$ d'où $$x{}_{0} =3$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta =0$$ et que nous connaissons la racine $$x{}_{0}$$, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de $$a$$.

• Si $$a>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse $$x{}_{0}$$.
• Si $$a<0$$, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse $$x{}_{0}$$.

Il en résulte donc que :

Dans notre situation, $$a=2>0$$, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse $$3$$.
Il vient alors que :

Ainsi les solutions de l'inéquation $$2x^{2} -12x+18 \ge0$$ sont .

$$2x^{2} -6x+18 \ge x^{2}+3x+10$$ équivaut successivement à :
$$2x^{2} -6x+18 - x^{2}-3x-10 \ge 0$$
$$x^{2} -9x+8\ge 0$$
1^ère étape : On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-9$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=8$$

2^ème étape : Calcul du discriminant $$\Delta =b^{2} -4ac$$
Ainsi :
$$\Delta =\left(-9\right)^{2} -4\times 1\times 8$$
$$\Delta =49$$
Donc
3^ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ alors la fonction $$f$$ admet deux racines réelles distinctes notées $$x_{1}$$ et $$x_{2}$$ telles que :
$$x_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{1} =\frac{-\left(-9\right)-\sqrt{49} }{2\times 1}$$ d'où $$x_{1} =1$$
$$x_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}$$ ainsi $$x_{2} =\frac{-\left(-9\right)+\sqrt{49} }{2\times 1}$$ d'où $$x_{2} =8$$
4^ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant $$\Delta$$.
Comme $$\Delta >0$$ et que nous connaissons les racines $$x{}_{1}$$ et $$x{}_{2}$$, le tableau du trinôme du second degré est dans cette situation. En effet, tout va dépendre du signe de $$a$$.

• Si $$a>0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
• Si $$a<0$$, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.

Il en résulte donc que :

Dans notre situation, $$a=1<0$$, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que $$f$$ est du signe de $$a$$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à $$a$$ entre les racines.
Il vient alors que :

Ainsi les solutions de l'inéquation $$2x^{2} -6x+18 \ge x^{2}+3x+10$$ sont .