Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant

Déterminer le signe d'un trinôme du second degré - Exercice 1

30 min
40
Résoudre dans R\mathbb{R} les inéquations suivantes :
Question 1

x2+8x70-x^{2} +8x-7\ge 0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=-1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=8b=8
  • c=c= nombre seul d'où c=7c=-7
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=824×(1)×(7)\Delta =8^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-7\right)
Δ=6428=36\Delta =64-28=36
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors la fonction ff admet deux racines réelles distinctes notées x1x_{1} et x2x_{2} telles que :
x1=bΔ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=8362×(1)x_{1} =\frac{-8-\sqrt{36} }{2\times \left(-1\right)} d'où x1=7x_{1} =7
x2=b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=8+362×(1)x_{2} =\frac{-8+\sqrt{36} }{2\times \left(-1\right)} d'où x2=1x_{2} =1
4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 et que nous connaissons les racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :
  • Si a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
  • Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=1<0a=-1<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation x2+8x70-x^{2} +8x-7\ge 0 sont
S=[1;7]S=\left[1;7\right]
.
Question 2

x22x+1>0x^{2} -2x+1>0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=2b=-2
  • c=c= nombre seul d'où c=1c=1
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(2)24×1×1\Delta =\left(-2\right)^{2} -4\times 1\times 1
Δ=44=0\Delta =4-4=0
Donc
Δ=0\Delta =0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0x{}_{0} telle que :
x0=b2ax{}_{0} =\frac{-b}{2a} ainsi x0=22×1x{}_{0} =\frac{2}{2\times 1} d'où x0=1x{}_{0} =1
4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 et que nous connaissons la racine x0x{}_{0} , le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de aa.
  • Si a>0a>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse x0x{}_{0} .
  • Si a<0a<0, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse x0x{}_{0} .

Il en résulte donc que :

Dans notre situation, a=1>0a=1>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse 11.
Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation x22x+1>0x^{2} -2x+1>0 sont
S=];1[]1;+[S=\left]-\infty ;1\right[\cup \left]1;+\infty \right[
.
Question 3

x2x1>0-x^{2} -x-1>0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=-1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=1b=-1
  • c=c= nombre seul d'où c=1c=-1
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(1)24×(1)×(1)\Delta =\left(-1\right)^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-1\right)
Δ=14=3\Delta =1-4=-3
Donc
Δ<0\Delta <0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ<0\Delta <0 alors l'équation n'admet pas de racines réelles.
Autrement dit, il n'y a pas de solution à l'équation x2x1=0-x^{2} -x-1=0 car Δ<0\Delta <0.
4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ<0\Delta <0, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de aa.
  • Si a>0a>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
  • Si a<0a<0, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa et ne passe jamais par l'axe des abscisses.

Il en résulte donc que :

Dans notre situation, a=1<0a=-1<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation x2x1>0-x^{2} -x-1>0 sont
S=S=\emptyset
.
Question 4

x2+68x10750-x^{2} + 68x - 1075\le0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=-1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=68b=68
  • c=c= nombre seul d'où c=1075c=-1075
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=6824×(1)×(1075)\Delta =68^{2} -4\times \left(-1\right)\times \left(-1075\right)
Δ=324\Delta =324
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors la fonction ff admet deux racines réelles distinctes notées x1x_{1} et x2x_{2} telles que :
x1=bΔ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=683242×(1)x_{1} =\frac{-68-\sqrt{324} }{2\times \left(-1\right)} d'où x1=43x_{1} =43
x2=b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=68+3242×(1)x_{2} =\frac{-68+\sqrt{324} }{2\times \left(-1\right)} d'où x2=25x_{2} =25
4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 et que nous connaissons les racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :
  • Si a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
  • Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=1<0a=-1<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation x2+68x10750-x^{2} +68x-1075\le 0 sont
S=];25][43;+[S=\left]-\infty ;25\right]\cup \left[43;+\infty \right[
.
Question 5

4x2+4x+15>0-4x^{2} +4x+15> 0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=4a=-4
  • b=b= nombre devant xx d'où b=4b=4
  • c=c= nombre seul d'où c=15c=15
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=424×(4)×15\Delta =4^{2} -4\times \left(-4\right)\times 15
Δ=256\Delta =256
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors la fonction ff admet deux racines réelles distinctes notées x1x_{1} et x2x_{2} telles que :
x1=bΔ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=42562×(4)x_{1} =\frac{-4-\sqrt{256} }{2\times \left(-4\right)} d'où x1=52x_{1} =\frac{5}{2}
x2=b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=4+2562×(4)x_{2} =\frac{-4+\sqrt{256} }{2\times \left(-4\right)} d'où x2=32x_{2} =-\frac{3}{2}
4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 et que nous connaissons les racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :
  • Si a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
  • Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=4<0a=-4<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation 4x2+4x+15>0-4x^{2} +4x+15> 0 sont
S=]32;52[S=\left]-\frac{3}{2};\frac{5}{2} \right[
.
Question 6

2x212x+1802x^{2} -12x+18 \ge0

Correction
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=12b=-12
  • c=c= nombre seul d'où c=18c=18
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(12)24×2×18\Delta =\left(-12\right)^{2} -4\times 2\times 18
Donc
Δ=0\Delta =0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0x{}_{0} telle que :
x0=b2ax{}_{0} =\frac{-b}{2a} ainsi x0=(12)2×2x{}_{0} =\frac{-\left(-12\right)}{2\times 2} d'où x0=3x{}_{0} =3
4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ=0\Delta =0 et que nous connaissons la racine x0x{}_{0} , le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de aa.
  • Si a>0a>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse x0x{}_{0} .
  • Si a<0a<0, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse x0x{}_{0} .

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=2>0a=2>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse 33.
Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation 2x212x+1802x^{2} -12x+18 \ge0 sont
S=];+[S=\left]-\infty ;+\infty\right[
.
Question 7

2x26x+18x2+3x+102x^{2} -6x+18 \ge x^{2}+3x+10

Correction
2x26x+18x2+3x+102x^{2} -6x+18 \ge x^{2}+3x+10 équivaut successivement à :
2x26x+18x23x1002x^{2} -6x+18 - x^{2}-3x-10 \ge 0
x29x+80x^{2} -9x+8\ge 0
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=9b=-9
  • c=c= nombre seul d'où c=8c=8
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b24ac\Delta =b^{2} -4ac
Ainsi :
Δ=(9)24×1×8\Delta =\left(-9\right)^{2} -4\times 1\times 8
Δ=49\Delta =49
Donc
Δ>0\Delta >0

3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 alors la fonction ff admet deux racines réelles distinctes notées x1x_{1} et x2x_{2} telles que :
x1=bΔ2ax_{1} =\frac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x1=(9)492×1x_{1} =\frac{-\left(-9\right)-\sqrt{49} }{2\times 1} d'où x1=1x_{1} =1
x2=b+Δ2ax_{2} =\frac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a} ainsi x2=(9)+492×1x_{2} =\frac{-\left(-9\right)+\sqrt{49} }{2\times 1} d'où x2=8x_{2} =8
4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ\Delta .
Comme Δ>0\Delta >0 et que nous connaissons les racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , le tableau du trinôme du second degré est dans cette situation. En effet, tout va dépendre du signe de aa.
  • Si a>0a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
  • Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.

Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=1<0a=1<0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que ff est du signe de aa à l'extérieur des racines et du signe opposé à aa entre les racines.
Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation 2x26x+18x2+3x+102x^{2} -6x+18 \ge x^{2}+3x+10 sont
S=];1][8;+[S=\left]-\infty ;1\right]\cup \left[8;+\infty \right[
.