Second degré (partie 2) : introduction et utilisation de la notion du discriminant
Déterminer le signe d'un trinôme du second degré - Exercice 1
30 min
40
Résoudre dans R les inéquations suivantes :
Question 1
−x2+8x−7≥0
Correction
1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=−1
b= nombre devant x d'où b=8
c= nombre seul d'où c=−7
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=82−4×(−1)×(−7) Δ=64−28=36 Donc
Δ>0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 alors la fonction f admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×(−1)−8−36 d'où x1=7 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×(−1)−8+36 d'où x2=1 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 et que nous connaissons les racines x1 et x2, le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :
Si a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
Si a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=−1<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation −x2+8x−7≥0 sont
S=[1;7]
.
Question 2
x2−2x+1>0
Correction
1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=1
b= nombre devant x d'où b=−2
c= nombre seul d'où c=1
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−2)2−4×1×1 Δ=4−4=0 Donc
Δ=0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ=0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0 telle que : x0=2a−b ainsi x0=2×12 d'où x0=1 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ=0 et que nous connaissons la racine x0, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de a.
Si a>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse x0.
Si a<0, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse x0.
Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=1>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse 1. Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation x2−2x+1>0 sont
S=]−∞;1[∪]1;+∞[
.
Question 3
−x2−x−1>0
Correction
1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=−1
b= nombre devant x d'où b=−1
c= nombre seul d'où c=−1
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−1)2−4×(−1)×(−1) Δ=1−4=−3 Donc
Δ<0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ<0 alors l'équation n'admet pas de racines réelles. Autrement dit, il n'y a pas de solution à l'équation −x2−x−1=0 car Δ<0. 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ<0, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de a.
Si a>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
Si a<0, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a et ne passe jamais par l'axe des abscisses.
Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=−1<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a et ne passe jamais par l'axe des abscisses. Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation −x2−x−1>0 sont
S=∅
.
Question 4
−x2+68x−1075≤0
Correction
1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=−1
b= nombre devant x d'où b=68
c= nombre seul d'où c=−1075
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=682−4×(−1)×(−1075) Δ=324 Donc
Δ>0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 alors la fonction f admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×(−1)−68−324 d'où x1=43 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×(−1)−68+324 d'où x2=25 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 et que nous connaissons les racines x1 et x2, le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :
Si a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
Si a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=−1<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation −x2+68x−1075≤0 sont
S=]−∞;25]∪[43;+∞[
.
Question 5
−4x2+4x+15>0
Correction
1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=−4
b= nombre devant x d'où b=4
c= nombre seul d'où c=15
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=42−4×(−4)×15 Δ=256 Donc
Δ>0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 alors la fonction f admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×(−4)−4−256 d'où x1=25 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×(−4)−4+256 d'où x2=−23 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 et que nous connaissons les racines x1 et x2, le tableau de signe du trinôme du second degré se remplit comme suit :
Si a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
Si a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=−4<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation −4x2+4x+15>0 sont
S=]−23;25[
.
Question 6
2x2−12x+18≥0
Correction
1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=2
b= nombre devant x d'où b=−12
c= nombre seul d'où c=18
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−12)2−4×2×18 Donc
Δ=0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ=0 alors l'équation admet une racine double réelle notée x0 telle que : x0=2a−b ainsi x0=2×2−(−12) d'où x0=3 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ=0 et que nous connaissons la racine x0, le tableau de signe du trinôme du second degré va dépendre du signe de a.
Si a>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse x0.
Si a<0, la parabole est tourné vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse x0.
Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=2>0, la parabole est tourné vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a et ne s'annule exactement qu'une seule fois au point d'abscisse 3. Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation 2x2−12x+18≥0 sont
S=]−∞;+∞[
.
Question 7
2x2−6x+18≥x2+3x+10
Correction
2x2−6x+18≥x2+3x+10 équivaut successivement à : 2x2−6x+18−x2−3x−10≥0 x2−9x+8≥0 1ère étape : On définit les valeurs a, b et c.
a= nombre devant x2 d'où a=1
b= nombre devant x d'où b=−9
c= nombre seul d'où c=8
2ème étape : Calcul du discriminant Δ=b2−4ac Ainsi : Δ=(−9)2−4×1×8 Δ=49 Donc
Δ>0
3ème étape : Calcul des racines suivant le signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 alors la fonction f admet deux racines réelles distinctes notées x1 et x2 telles que : x1=2a−b−Δ ainsi x1=2×1−(−9)−49 d'où x1=1 x2=2a−b+Δ ainsi x2=2×1−(−9)+49 d'où x2=8 4ème étape : Le tableau de signe du trinôme du second degré qui dépend du signe du discriminant Δ. Comme Δ>0 et que nous connaissons les racines x1 et x2, le tableau du trinôme du second degré est dans cette situation. En effet, tout va dépendre du signe de a.
Si a>0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
Si a<0, la parabole est tournée vers le bas c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines.
Il en résulte donc que :
Dans notre situation, a=1<0, la parabole est tournée vers le haut c'est-à-dire que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à a entre les racines. Il vient alors que :
Ainsi les solutions de l'inéquation 2x2−6x+18≥x2+3x+10 sont