Résoudre une équation du second degré sans utiliser le discriminant - Exercice 2

Nous allons commencer par factoriser notre équation.
Le facteur commun ici est $${\color{blue}{9-x}}$$ .
$$\left(4x-7\right){\color{blue}{\left(9-x\right)}}-3{\color{blue}{\left(9-x\right)}}\left(x+5\right)=0$$
$${\color{blue}{\left(9-x\right)}}\left[4x-7-3\times \left(x+5\right)\right]=0$$
$$\left(9-x\right)\left[4x-7-3\times \left(x+5\right)\right]=0$$
$$\left(9-x\right)\left[4x-7-\left(3\times x+3\times 5\right)\right]=0$$
$$\left(9-x\right)\left[4x-7-\left(3x+15\right)\right]=0$$
$$\left(9-x\right)\left[4x-7-3x-15\right]=0$$ Ici, nous avons changé les signes dans la parenthèse car nous avions le signe moins devant la parenthèse.
Ainsi : Il s'agit d'une équation produit nul.
On a donc : $$9-x=0$$ ou $$x-22=0$$

D'une part : résolvons $$9-x=0$$ qui donne $$-x=-9$$ . D'où : $$x=9$$

D'autre part : résolvons $$x-22=0$$ . D'où : $$x=22$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$4x^{2} -12x+9=0$$
$$\left({\color{blue}2x}\right)^{2} -2\times {\color{blue}2x}\times {\color{red}3}+{\color{red}3}^{2}$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}2x}$$ et $$b={\color{red}3}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}2x}-{\color{red}3}\right)^{2}=0$$
$$2x-3=0$$
$$2x=3$$
$$x=\frac{3}{2}$$
La solution de l'équation $$4x^{2} -12x+9=0$$ est alors :

$$4x^{2} +8=6$$ équvaut successivement à :
$$4x^{2} =6-8$$
$$4x^{2} =-2$$
$$x^{2} =-\dfrac{2}{4}$$
$$x^{2} =-\dfrac{1}{2}$$
Attention, ici pour cette équation $$x^{2}=-\dfrac{1}{2}$$, il est impératif de se souvenir $$\red{\text{qu'un carrée est positif ou nul}}$$
Il en résulte donc que l'on ne peut pas avoir de solutions réelles à l'équation $$x^{2}=-\dfrac{1}{2}$$ .
On écrit alors :