Résoudre une équation du second degré sans utiliser le discriminant - Exercice 1

$$9x^{2} -13x=0$$ équivaut successivement à :
Le facteur commun ici est $${\color{blue}x}$$.
$${\color{blue}x}\times 9x-13\times {\color{blue}x}=0$$ . On factorise maintenant par $$x$$ .
$${\color{blue}x}\left(9x-13\right)=0$$ . $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
$$x=0$$ ou $$9x-13=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x=0$$ qui donne $$x=0$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$9x-13=0$$ qui donne $$9x=13$$. D'où : $$x=\frac{13}{9}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$x^{2} -81=0$$ équivaut successivement à :
$${\color{blue}x}^{2} -{\color{red}9}^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}x}$$ et $$b={\color{red}9}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}x}-\color{red}9\right)\left({\color{blue}x}+\color{red}9\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(x-9\right)\left(x+9\right)=0$$ revient à résoudre :
$$x-9=0$$ ou $$x+9=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x-9=0$$ qui donne $$x=9$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$x+9=0$$ qui donne $$x=-9$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$16x^2-25=0$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{blue}4x}\right)^{2} -{\color{red}5}^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}4x}$$ et $$b={\color{red}5}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}4x}-\color{red}5\right)\left({\color{blue}4x}+\color{red}5\right)=0$$ $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(4x-5\right)\left(4x+5\right)=0$$ revient à résoudre :
$$4x-5=0$$ ou $$4x+5=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$4x-5=0$$ d'où $$4x=5$$ ce qui donne $$x=\dfrac{5}{4}$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$4x+5=0$$ d'où $$4x=-5$$ ce qui donne $$x=-\dfrac{5}{4}$$

Les solutions de l'équation sont alors :

Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :$$\left(x+6\right)^{2} -9=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(\color{blue}x+6\right)^{2} -{\color{red}3}^{2}=0$$
Ici nous avons $$a={\color{blue}x+6}$$ et $$b={\color{red}3}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}x+6}-\color{red}3\right)\left({\color{blue}x+6}+\color{red}3\right)=0$$
$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)=0$$ . $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(x+3\right)\left(x+9\right)=0$$ revient à résoudre :
$$x+3=0$$ ou $$x+9=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x+3=0$$ qui donne $$x=-3$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$x+9=0$$ qui donne $$x=-9$$

Les solutions de l'équation sont alors :

$$\left(3x-1\right)^{2} =\left(2x+3\right)^{2}$$ équivaut successivement à :
$$\left({\color{blue}3x-1}\right)^{2} -\left({\color{red}2x+3}\right)^{2}=0$$
Il est impératif ici de factoriser l'expression à l'aide de l'identité remarquable donnée ci-dessous :Ici nous avons $$a={\color{blue}3x-1}$$ et $$b={\color{red}2x+3}$$. Il vient alors que :
$$\left({\color{blue}3x-1}-\left({\color{red}2x+3}\right)\right)\left({\color{blue}3x-1}+\left({\color{red}2x+3}\right)\right)=0$$ .
$$\left(3x-1-2x-3\right)\left(3x-1+2x+3\right)=0$$
$$\left(x-4\right)\left(5x+2\right)=0$$. $$\text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul.}}$$
Or si un produit de facteur est nul alors l’un au moins des facteurs est nul.
Ainsi $$\left(x-4\right)\left(5x+2\right)=0$$ revient à résoudre :
$$x-4=0$$ ou $$5x+2=0$$

$$\text{\red{D'une part :}}$$ résolvons $$x-4=0$$ qui donne $$x=4$$

$$\text{\red{D'autre part :}}$$ résolvons $$5x+2=0$$ qui donne $$5x=-2$$. D'où : $$x=-\frac{2}{5}$$

Les solutions de l'équation sont alors :