Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Reconnaitre un polynôme de degré 22 - Exercice 1

5 min
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Question 1
Pour chacune des fonctions ci-dessous définies sur R\mathbb{R} déterminer si elles correspondent à un polynôme du second degré.

f(x)=2x23x+4f\left(x\right)=2x^{2} -3x+4

Correction
Une fonction polynôme PP du second degré est une fonction définie sur R\mathbb{R} de la forme P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+ca,ba,b et cc sont trois réels avec a0a\ne 0 .
Soit f(x)=2x23x+4f\left(x\right)={\color{blue}{2}}x^{2}{\color{red}{-3}}x{\color{purple}{+4}}
ff est une fonction polynôme du second degré car a=20{\color{blue}{a=2\ne 0}} ; b=3{\color{red}{b=-3}} et c=4{\color{purple}{c=4}}
Question 2

f(x)=x2+6f\left(x\right)=x^{2} +6

Correction
Une fonction polynôme PP du second degré est une fonction définie sur R\mathbb{R} de la forme P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+ca,ba,b et cc sont trois réels avec a0a\ne 0 .
Soit f(x)=1x2+6f\left(x\right)={\color{blue}{1}}x^{2}{\color{purple}{+6}}
ff est une fonction polynôme du second degré car a=10{\color{blue}{a=1\ne 0}} ; b=0{\color{red}{b=0}} et c=6{\color{purple}{c=6}}
Nous pourrions écrire f(x)=1x2+6f\left(x\right)={\color{blue}{1}}x^{2}{\color{purple}{+6}} sous la forme f(x)=1x2+0x+6f\left(x\right)={\color{blue}{1}}x^{2}{\color{red}{+0}}x{\color{purple}{+6}} et c'est ainsi que l'on comprend pourquoi b=0{\color{red}{b=0}}
Question 3

f(x)=x2(x+2)2f\left(x\right)=x^{2}-\left(x+2\right)^{2}

Correction
Pour cette expression il va falloir commencer par développer l'expression de ff.
f(x)=x2(x+2)2f\left(x\right)=x^{2}-\left(x+2\right)^{2}
  • (a+b)2=a2+2ab+b2\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)^{2} ={\color{blue}a}^{2} +2{\color{blue}a}{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}
f(x)=x2(x2+4x+4)f\left(x\right)=x^{2} -\left(x^{2} +4x+4\right)
f(x)=x2x24x4f\left(x\right)=x^{2} -x^{2} -4x-4
Ainsi : f(x)=4x4f\left(x\right)=-4x-4
La fonction ff correspond à une fonction affine. Donc ff n'est pas une fonction polynôme du second degré.
Question 4

f(x)=2x2+3x4f\left(x\right)=2x^{2} +3\sqrt{x} -4

Correction
Le terme xxx \mapsto \sqrt{x} correspond à une fonction irrationnelle.
Il en résulte donc que ff n'est pas une fonction polynôme du second degré.
Question 5

f(x)=3x24x+613f\left(x\right)=\frac{3x^{2} -4x+6}{13}

Correction
f(x)=3x24x+613f\left(x\right)=\frac{3x^{2} -4x+6}{13} peut s'écrire de la manière suivante :
f(x)=3x2134x13+613f\left(x\right)=\frac{3x^{2} }{13} -\frac{4x}{13} +\frac{6}{13}
f(x)=313x2413x+613f\left(x\right)={\color{blue}{\frac{3}{13}}} x^{2} {\color{red}{-\frac{4}{13}}} x+{\color{purple}{\frac{6}{13}}}
ff est une fonction polynôme du second degré car a=3130{\color{blue}{a=\frac{3}{13}\ne 0}} ; b=413{\color{red}{b=-\frac{4}{13}}} et c=613{\color{purple}{c=\frac{6}{13}}}