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Forme canonique et variation - Exercice 4

10 min
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Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=−x2+6x+2f\left(x\right)=-x^{2} +6x+2.
Question 1

Déterminer la forme canonique de la fonction polynôme du second degré ff .

Correction
Nous allons vous proposer deux meˊthodes\text{{\color{blue}{deux méthodes}}} pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
PREMIERE METHODE :\red{\text{PREMIERE METHODE :}}
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1\purple{\text{1}} eˋre\purple{\text{ère}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=−1a=-1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=6b=6
  • c=c= nombre seul d'où c=2c=2
2\purple{\text{2}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−62×(−1)\alpha =\frac{-6}{2\times\left(-1\right)} d'où :
α=3\alpha =3

3\purple{\text{3}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(3)\beta =f\left(3 \right)
β=−(3)2+6×3+2\beta =-\left(3\right)^{2} +6\times 3+2
β=−9+18+2\beta =-9+18+2
β=11\beta =11

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique\pink{\text{forme canonique}} est
f(x)=−(x−3)2+11f\left(x\right)=-\left(x-3\right)^{2} +11
.
DEUXIEME METHODE :\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}
f(x)=−x2+6x+2f\left(x\right)=-x^{2} +6x+2 équivaut successivement à :
f(x)=−[x2−6x−2]f\left(x\right)=-\left[x^{2} -6x-2\right]
f(x)=−[(x−6×12)2−(6×12)2−2]f\left(x\right)=-\left[\left(x-6\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(6\times \frac{1}{2} \right)^{2} -2\right]
f(x)=−[(x−3)2−32−2]f\left(x\right)=-\left[\left(x-3\right)^{2} -3^{2} -2\right]
f(x)=−[(x−3)2−11]f\left(x\right)=-\left[\left(x-3\right)^{2} -11\right]
Ainsi :
f(x)=−(x−3)2+11f\left(x\right)=-\left(x-3\right)^{2} +11

Question 2

En déduire le tableau de variation de ff.
Justifier.

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta où S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
Si a>0\red{a>0} alors le tableau de variation de ff est :
Si a<0\red{a<0} alors le tableau de variation de ff est :
A l'aide de la forme canonique, on détermine facilement le sommet de la parabole.
Or : f(x)=−(x−3)2+11f\left(x\right)=-\left(x-3\right)^{2} +11.
On note S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) le sommet de la parabole.
Ici, nous avons a=−1a=-1, α=3\alpha=3 et β=11\beta=11.
a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas et S(3;11)S\left(3;11\right) est le sommet de la parabole (plus précisément un maximum).
Le tableau de variation est alors :

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