Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Forme canonique et variation - Exercice 1

10 min
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Pour chacune des fonctions polynômes du second degré définies sur R\mathbb{R} , indiquez la nature de l'extremum et donnez ses coordonnées.
Question 1

f(x)=2(x−1)2+3f\left(x\right)=2\left(x-1\right)^{2} +3

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta où S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
Si a>0\red{a>0} alors le tableau de variation de ff est :
Si a<0\red{a<0} alors le tableau de variation de ff est :
Nous avons f(x)=2(x−1)2+3f\left(x\right)=2\left(x-1\right)^{2} +3 nous avons donc a=2a=2 ; α=1\alpha=1 et β=3\beta=3
Nous pouvons dresser le tableau de variation de ff
L'extremum ici est un minimum dont les coordonnées sont S(1;3)S\left(1;3 \right)
Question 2

f(x)=−5(x−7)2−10f\left(x\right)=-5\left(x-7\right)^{2} -10

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta où S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
Si a>0\red{a>0} alors le tableau de variation de ff est :
Si a<0\red{a<0} alors le tableau de variation de ff est :
Nous avons f(x)=−5(x−7)2−10f\left(x\right)=-5\left(x-7\right)^{2} -10 nous avons donc a=−5a=-5 ; α=7\alpha=7 et β=−10\beta=-10
Nous pouvons dresser le tableau de variation de ff
L'extremum ici est un maximum dont les coordonnées sont S(7;−10)S\left(7;-10\right)
Question 3

f(x)=−2(x+9)2+1f\left(x\right)=-2\left(x+9\right)^{2} +1

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta où S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
Si a>0\red{a>0} alors le tableau de variation de ff est :
Si a<0\red{a<0} alors le tableau de variation de ff est :
Nous avons f(x)=−2(x+9)2+1f\left(x\right)=-2\left(x+9\right)^{2} +1 que nous pouvons également écrire f(x)=−2(x−(−9))2+1f\left(x\right)=-2\left(x-\left(-9\right)\right)^{2} +1
Nous avons donc a=−2a=-2 ; α=−9\alpha=-9 et β=1\beta=1
Nous pouvons dresser le tableau de variation de ff
L'extremum ici est un maximum dont les coordonnées sont S(−9;1)S\left(-9;1\right)
Question 4

f(x)=7(x+8)2−5f\left(x\right)=7\left(x+8\right)^{2} -5

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta où S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
Si a>0\red{a>0} alors le tableau de variation de ff est :
Si a<0\red{a<0} alors le tableau de variation de ff est :
Nous avons f(x)=7(x+8)2−5f\left(x\right)=7\left(x+8\right)^{2} -5 nous avons donc a=7a=7 ; α=−8\alpha=-8 et β=−5\beta=-5
Nous pouvons dresser le tableau de variation de ff
L'extremum ici est un minimum dont les coordonnées sont S(−8;−5)S\left(-8;-5\right)