Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Exercices types : Résoudre une équation du second degré (sans utiliser le discriminant)\red{\text{(sans utiliser le discriminant)}} - Exercice 1

20 min
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Résoudre les équations suivantes dans R\mathbb{R}, sans utiliser le discriminant.
Question 1

9x2=819x^{2} =81

Correction
9x2=819x^{2} =81 équivaut successivement à
9x281=09x^{2}-81 = 0
    Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
  • a2b2=(ab)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
(3x)292=0\left({\color{blue}3x}\right)^{2} -{\color{red}9}^{2}=0
Ici nous avons a=3xa={\color{blue}3x} et b=9b={\color{red}9}. Il vient alors que :
(3x9)(3x+9)=0\left({\color{blue}3x}-{\color{red}9}\right)\left({\color{blue}3x}+{\color{red}9}\right)=0       \;\;\; Il s’agit d’une eˊquation produit nul\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}
3x9=03x-9=0 ou 3x+9=03x+9=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons 3x9=03x-9=0 qui donne 3x=93x=9. D'où : x=93=3x=\frac{9}{3}=3
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 3x+9=03x+9=0 qui donne 3x=93x=-9. D'où : x=93=3x=-\frac{9}{3}=-3

  • L'équation a donc deux solutions
    S={3;3}S=\left\{-3 ;3 \right\}
    Question 2

    13x3x2=0\frac{1}{3}x-3x^{2}=0

    Correction
    13x3x2=0\frac{1}{3}x-3x^{2}=0 équivaut successivement à :
    Le facteur commun ici est x{\color{blue}x}.
    x×133×x×x=0 {\color{blue}x}\times \frac{1}{3}-3\times x\times {\color{blue}x}=0 . On factorise maintenant par x{\color{blue}x} .
    x(133x)=0{\color{blue}x}\left(\frac{1}{3}-3x\right)=0.       \;\;\; Il s’agit d’une eˊquation produit nul\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}
    x=0x=0 ou 133x=0\frac{1}{3}-3x=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x=0x=0 qui donne x=0x=0
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 133x=0\frac{1}{3}-3x=0 qui donne 3x=13-3x=-\frac{1}{3}. D'où : x=133=19x=\frac{-\frac{1}{3}}{-3}=\frac{1}{9}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={0;19}S=\left\{0;\frac{1}{9} \right\}
    Question 3

    2x2+5=32x^{2} +5=3

    Correction
    2x2+5=32x^{2} +5=3 équvaut successivement à :
    2x2=352x^{2} =3-5
    2x2=22x^{2} =-2
    x2=22x^{2} =-\frac{2}{2}
    x2=1x^{2} =-1
    Attention, ici pour cette équation x2=1x^{2}=-1, il est impératif de se souvenir qu’un carreˊe est positif ou nul\red{\text{qu'un carrée est positif ou nul}}
    Il en résulte donc que l'on ne peut pas avoir de solutions réelles à l'équation x2=1x^{2}=-1 .
    On écrit alors :
    S={}S=\left\{\emptyset\right\}

    Question 4

    9x230x+25=09x^{2}-30x+25=0

    Correction
      Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
    • a22×a×b+b2=(ab)2{\color{blue}a}^{2} -2\times{\color{blue}a}\times{\color{red}b}+{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)^{2}
    9x230x+25=09x^{2}-30x+25=0
    (3x)22×3x×5+52\left({\color{blue}3x}\right)^{2} -2\times {\color{blue}3x}\times {\color{red}5}+{\color{red}5}^{2}
    Ici nous avons a=3xa={\color{blue}3x} et b=5b={\color{red}5}. Il vient alors que :
    (3x5)2=0\left({\color{blue}3x}-{\color{red}5}\right)^{2}=0
    • X2=0X=0X^{2} =0\Leftrightarrow X=0
    3x5=03x-5=0
    3x=53x=5
    x=53x=\frac{5}{3}
    La solution de l'équation 9x230x+25=09x^{2}-30x+25=0 est alors :
    S={53}S=\left\{\frac{5}{3}\right\}
    Question 5

    (3x+5)2=(2x7)2\left(3x+5\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2}

    Correction
      Identiteˊ remarquable\purple{\text{Identité remarquable}}
    • a2b2=(ab)(a+b){\color{blue}a}^{2} -{\color{red}b}^{2}=\left({\color{blue}a}-{\color{red}b}\right)\left({\color{blue}a}+{\color{red}b}\right)
    (3x+5)2=(2x7)2\left(3x+5\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2} équivaut successivement à :
    (3x+5)2(2x7)2=0\left(3x+5\right)^{2}-\left(2x-7\right)^{2}=0
    (3x+5)2(2x7)2=0\left({\color{blue}3x+5}\right)^{2}-\left({\color{red}2x-7}\right)^{2}=0
    Ici nous avons a=3x+5a={\color{blue}3x+5} et b=2x7b={\color{red}2x-7}. Il vient alors que :
    ((3x+5)(2x7))(3x+5+2x7)=0\left({\color{blue}\left(3x+5\right)}-{\color{red}\left(2x-7\right)}\right)\left({\color{blue}3x+5}+{\color{red}2x-7}\right)=0
    (3x+52x+7)(3x+5+2x7)=0\left(3x+5-2x+7\right)\left(3x+5+2x-7\right)=0     \;\; Ne pas oublier de changer les signes dans la premieˋre parentheˋse.\pink{\text{Ne pas oublier de changer les signes dans la première parenthèse.}}
    Ainsi :
    (x+12)(5x2)=0\left(x+12\right)\left(5x-2\right)=0
          \;\;\; Il s’agit d’une eˊquation produit nul\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}
    x+12=0x+12=0 ou 5x2=05x-2=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x+12=0x+12=0 qui donne x=12x=-12
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons 5x2=05x-2=0 qui donne 5x=25x=2. D'où : x=25x=\frac{2}{5}
  • Les solutions de l'équation sont alors :
    S={12;25}S=\left\{-12;\frac{2}{5} \right\}