Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Exercices types : mise en situation sous forme de problèmes (sans discriminant)\red{\text{(sans discriminant)}} - Exercice 1

6 min
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Une entreprise vend des logiciels (licences spécialisées) mathématiques pour les lycées. Le bénéfice réalisé par cette vente de logiciels, en une semaine, est modélisée par la fonction B(x)=−3x2+240x−2625B\left(x\right)=-3 x^{2}+240x-2625. Le bénéfice est exprimé en euros.
L'entreprise ne peut pas fournir plus de 5050 logiciels par semaine, on aura ainsi : 0≤x≤500\le x \le 50
Question 1

Calculer le bénéfice pour 2020 licences.

Correction
Il nous faut calculer B(20)B\left(20\right).
B(20)=−3×202+240×20−2625B\left(20\right)=-3\times 20^{2}+240\times 20-2625
B(20)=975B\left(20\right)=975

L'entreprise réalisera un bénéfice de 975975 euros pour une vente de 2020 licences.
Question 2

Combien de licences l’entreprise doit fabriquer et vendre par semaine pour avoir un bénéfice maximal ?

Correction
Pour déterminer le bénéfice maximal, nous allons commencer par donner la forme canonique de : B(x)=−3x2+240x−2625B\left(x\right)=-3 x^{2}+240x-2625

Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=−3a=-3
  • b=b= nombre devant xx d'où b=240b=240
  • c=c= nombre seul d'où c=−2625c=-2625
2ème étape : Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−2402×(−3)\alpha =\frac{-240}{2\times\left(-3\right)} d'où :
α=40\alpha =40

3ème étape : Calcul de β=B(α)\beta =B\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=B(40)\beta =B\left(40 \right)
β=−3×402+240×40−2625\beta =-3\times 40^{2}+240\times 40-2625
β=2175\beta =2175

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne :
B(x)=−3(x−40)2+2175B\left(x\right)=-3\left(x-40\right)^{2}+2175
.
Maintenant, que nous avons la forme canonique de la fonction BB, nous allons pouvoir dresser le tableau de variation de BB.
  • Soit la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right) . Si a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas et le tableau de variation est comme suit :
Comme a=−3<0a=-3<0, la parabole est tournée vers le bas. Il en résulte donc que :
Finalement, pour une production de 4040 licences, le bénéfice maximal est alors de 21752175 euros.