Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Exercices types : Comment bien choisir la forme adaptée d'une fonction polynôme du second degré (sans discriminant)\red{\text{(sans discriminant)}} - Exercice 2

16 min
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On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2(x3)(x+2)f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right) .
Question 1

Montrer que ff est une fonction polynôme du second degré.

Correction
f(x)=2(x3)(x+2)f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right)
f(x)=2(x×x+x×2+(3)×x+(3)×2)f\left(x\right)=2\left(x\times x+x\times 2+\left(-3\right)\times x+\left(-3\right)\times 2\right)
f(x)=2(x2+2x3x6)f\left(x\right)=2\left(x^{2} +2x-3x-6\right)
f(x)=2(x2x6)f\left(x\right)=2\left(x^{2} -x-6\right)
Ainsi :
f(x)=2x22x12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12
Une fonction ff est une fonction polynôme du second degré s'il existe trois réels aa, bb et cc avec a0a\ne0, tels que pour tout réel xx on a : f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2} +bx+c
Nous savons que f(x)=2x22x12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12 . Nous avons a=20a=2\ne 0 ; b=2b=-2 et c=12c=-12 .
Il en résulte donc que ff est une fonction polynôme du second degré.
La forme f(x)=2x22x12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12 est appeleˊe la forme deˊveloppeˊe de\red{\text{ appelée la forme développée de}} f\red{f} .
Question 2

Déterminer la forme canonique de ff .

Correction
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Soit f(x)=2x22x12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12
1ère étape : On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=2b=-2
  • c=c= nombre seul d'où c=12c=-12
2ème étape : Calcul de α=b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=(2)2×2\alpha =\frac{-\left(-2\right)}{2\times2} d'où :
α=12\alpha =\frac{1}{2}

3ème étape : Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(12)\beta =f\left(\frac{1}{2} \right)
β=2×(12)22×(12)12\beta =2\times\left(\frac{1}{2} \right)^{2} -2\times\left(\frac{1}{2} \right)-12
β=252\beta =-\frac{25}{2}

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique est : f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne :
f(x)=2(x12)2252f\left(x\right)=2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{25}{2}

Question 3
Utiliser la forme la plus adaptée pour :

Déterminer l'image de 00 par ff .

Correction
Il nous faut donc calculer f(0)f\left(0\right)
Nous allons utiliser la forme f(x)=2x22x12f\left(x\right)=2x^{2} -2x-12. Ainsi :
f(0)=2×022×012f\left(0\right)=2\times0^{2} -2\times0-12
D'où :
f(0)=12f\left(0\right)=-12

Question 4

Déterminer les antécédents de 00 par ff .

Correction
Il nous faut résoudre, dans R\mathbb{R}, l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0
Il faudra utiliser la forme factorisée de ff, c'est à dire : f(x)=2(x3)(x+2)f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right) . D'où :
f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
2(x3)(x+2)=02\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0 . Il s’agit d’une eˊquation produit nul\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}     \;\; Comme 2>02>0, on a :
x3=0x-3=0 ou x+2=0x+2=0
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}} résolvons x3=0x-3=0 qui donne x=3x=3
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}} résolvons x+2=0x+2=0 qui donne x=2x=-2
  • Les solutions de l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0 sont alors :
    S={2;3}S=\left\{-2;3\right\}

    Question 5

    Résoudre, dans R\mathbb{R}, l'équation f(x)=252f\left(x\right)=-\frac{25}{2} .

    Correction
    Pour résoudre l'équation f(x)=252f\left(x\right)=-\frac{25}{2}, il faudra utiliser la forme canonique de ff, c'est à dire : f(x)=2(x12)2252f\left(x\right)=2\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2} . D'où :
    f(x)=252f\left(x\right)=-\frac{25}{2}
    2(x12)2252=2522\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}-\frac{25}{2}=-\frac{25}{2}
    2(x12)2=02\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=0
    (x12)2=02\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=\frac{0}{2}
    (x12)2=0\left(x-\frac{1}{2} \right)^{2}=0

    • X2=0X=0X^{2} =0\Leftrightarrow X=0
    x12=0x-\frac{1}{2}=0
    x=12x=\frac{1}{2}
    La solution de l'équation f(x)=252f\left(x\right)=-\frac{25}{2} est alors :
    S={12}S=\left\{\frac{1}{2}\right\}

    Question 6

    Déterminer les solutions de l'inéquation : f(x)<0f\left(x\right)<0

    Correction
    Il nous faut résoudre l'inéquation : f(x)<0f\left(x\right)<0
    Il faudra utiliser la forme factorisée de ff, c'est à dire : f(x)=2(x3)(x+2)f\left(x\right)=2\left(x-3\right)\left(x+2\right) . Nous avons donc besoin du tableau de signe de la fonction ff .

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
    En italique ce sont des phrases explicatives qui ne doivent pas apparaitre sur vos copies, elles servent juste à vous expliquer le raisonnement.
  • D’une part :\red{\text{D'une part :}}
  • x3=0x=3x-3=0\Leftrightarrow x=3
    Soit xx3x\mapsto x-3 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x3x-3 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=3x=3 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
  • D’autre part :\red{\text{D'autre part :}}
  • x+2=0x=2x+2=0\Leftrightarrow x=-2
    Soit xx+2x\mapsto x+2 est une fonction affine croissante car son coefficient directeur a=1>0a=1>0. (Cela signifie que la fonction MONTE donc on commencera dans la ligne x+2x+2 par le signe ()\left(-\right) et dès que l'on dépasse la valeur x=2x=-2 on mettra le signe (+)\left(+\right) dans le tableau de signe.)
    Enfin :\red{\text{Enfin :}} 22 est strictement positif. On mettra que le signe (+)\left(+\right) dans la ligne de 22.
    Le tableau du signe du produit est donné ci-dessous :
    Les solution de l'inéquation : f(x)<0f\left(x\right)<0 sont alors :
    S=]2;3[S=\left]-2;3\right[