Exercices types : $$2$$^ème partie - Exercice 1

La fonction $$f$$ est une fonction polynôme du second degré dont la représentation graphique est une parabole.
La fonction $$f$$ admet un extremum valant $$3$$ atteint en $$-2$$. Cela signifie que les coordonnées du sommet de la parabole sont $$S\left(-2;3\right)$$.
On rappelle que les valeurs de $$\alpha$$ et $$\beta$$ correspondent respectivement à l'abscisse et à l'ordonnée du sommet de la parabole.
Il vient alors que : $$\alpha=-2$$ et $$\beta=3$$
D'après notre rappel, la forme canonique de $$f$$ s'écrit : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$
Ce qui nous donne alors :
$$f\left(x\right)=a\left(x-\left(-2\right)\right)^{2} +3$$
$$f\left(x\right)=a\left(x+2\right)^{2} +3$$
Il reste maintenant à déterminer la valeur de $$a$$ .
Pour cela, la courbe représentative de la fonction $$f$$ passe par l'axe des abscisses au point d'abscisse $$-1$$. Autrement dit, $$f$$ s'annule en $$-1$$.
Nous pouvons traduire cette information par $$f\left(-1\right)=0$$ .
Il nous suffit alors de remplacer tous les $$x$$ par $$-1$$ dans l'expression de $$f$$ afin d'obtenir la valeur de $$a$$ .
Ainsi :
$$f\left(-1\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$a\left(-1+2\right)^{2} +3=0$$
$$a\times 1^{2} +3=0$$
$$a +3=2$$
$$a =2-3$$
$$a =-1$$
Finalement , l'expression de la forme canonique de $$f$$ est :