Exercices types : $$1$$^ère partie - Exercice 1

Nous allons commencer par donner la forme développée de $$f$$ .
Il vient alors que :
$$f\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(4-2x\right)$$ équivaut successivement à :
$$f\left(x\right)=12x-6x^{2} -4+2x$$
$$f\left(x\right)=-6x^{2} +14x-4$$
Soit $$f\left(x\right)={\color{blue}{-6}}x^{2}{\color{red}{+14}}x{\color{purple}{-4}}$$
$$f$$ est une fonction polynôme du second degré car $${\color{blue}{a=-6\ne 0}}$$ ; $${\color{red}{b=14}}$$ et $${\color{purple}{c=-4}}$$

Nous allons utiliser la forme développée de $$f$$.
Soit $$f\left(x\right)=-6x^{2} +14x-4$$
$$\purple{\text{1}}$$ ^{$$\purple{\text{ère}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-6$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=14$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-4$$

$$\purple{\text{2}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-14}{2\times\left(-6\right)}$$ d'où :
$$\purple{\text{3}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(\frac{7}{6} \right)$$
$$\beta =-6\times\left(\frac{7}{6}\right)^{2} +14\times \frac{7}{6}-4$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la $$\pink{\text{forme canonique}}$$ est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne : .

Pour déterminer le ou les antécédents par la fonction $$f$$ de $$0$$, il nous faut résoudre l'équation $$f\left(x\right)=0$$. Il faudra utiliser la forme factorisée de $$f$$, c'est à dire : $$f\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(4-2x\right)$$ . D'où :
$$f\left(x\right)=0$$ équivaut successivement à :
$$\left(3x-1\right)\left(4-2x\right)=0$$ .
$$\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}$$
$$3x-1=0$$ $$\red{\text{ou}}$$ $$4-2x=0$$
$$3x=1$$ $$\red{\text{ou}}$$ $$-2x=-4$$
$$x=\frac{1}{3}$$ $$\red{\text{ou}}$$ $$x=\frac{-4}{-2}$$
$$x=\frac{1}{3}$$ $$\red{\text{ou}}$$ $$x=2$$
Les antécédents de $$0$$ par la fonction $$f$$ sont $$\frac{1}{3}$$ et $$2$$.

Il nous faut calculer $$f\left(0\right)$$. Pour cela, nous allons utiliser la forme développée $$f\left(x\right)=-6x^{2} +14x-4$$ . Ainsi :
$$f\left(0\right)=-6\times0^{2} +14\times0-4$$

L'image de $$0$$ par $$f$$ est égale à $$-4$$ .

Nous allons utiliser la forme factorisée de $$f$$ afin de résoudre l'inéquation $$f\left(x\right)< 0$$.

$$\red{\text{ D'une part :}}$$

$$3x-1\ge 0\Leftrightarrow 3x\ge 1\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{3}$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$3x-1$$ lorsque $$x$$ sera supérieur ou égale à $$\frac{1}{3}$$.

$$\red{\text{ D'autre part :}}$$

$$4-2x\ge 0\Leftrightarrow -2x\ge -4\Leftrightarrow x\le \frac{-4}{-2} \Leftrightarrow x\le 2$$
Cela signifie que l'on va mettre le signe $$+$$ dans la ligne de $$4-2x$$ lorsque $$x$$ sera inférieur ou égale à $$2$$.
Le tableau du signe de la fonction $$f$$ est donné ci-dessous :
(On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
L'ensemble des solutions de l'inéquation $$f\left(x\right)< 0$$ est alors :

Nous allons utiliser la forme canonique de $$f$$ afin de déterminer tableau de variation de $$f$$ .
Nous avons $$f\left(x\right)=-6\left(x-\frac{7}{6} \right)^{2}+\frac{25}{6}$$ nous avons donc $$a=-6$$ ; $$\alpha=\frac{7}{6}$$ et $$\beta=\frac{25}{6}$$
Nous pouvons dresser le tableau de variation de $$f$$L'extremum ici est un maximum dont les coordonnées sont $$S\left(\frac{7}{6};\frac{25}{6} \right)$$