Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Exercices types : 11ère partie - Exercice 1

20 min
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Question 1
Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(3x1)(42x)f\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(4-2x\right) .

Vérifier que ff est une fonction polynôme du second degré.

Correction
Nous allons commencer par donner la forme développée de ff .
Il vient alors que :
f(x)=(3x1)(42x)f\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(4-2x\right) équivaut successivement à :
f(x)=12x6x24+2xf\left(x\right)=12x-6x^{2} -4+2x
f(x)=6x2+14x4f\left(x\right)=-6x^{2} +14x-4
Une fonction polynôme PP du second degré est une fonction définie sur R\mathbb{R} de la forme P(x)=ax2+bx+cP\left(x\right)=ax^{2}+bx+ca,ba,b et cc sont trois réels avec a0a\ne 0 .
Soit f(x)=6x2+14x4f\left(x\right)={\color{blue}{-6}}x^{2}{\color{red}{+14}}x{\color{purple}{-4}}
ff est une fonction polynôme du second degré car a=60{\color{blue}{a=-6\ne 0}} ; b=14{\color{red}{b=14}} et c=4{\color{purple}{c=-4}}
Question 2

Déterminer la forme canonique de ff.

Correction
Nous allons utiliser la forme développée de ff.
Soit f(x)=6x2+14x4f\left(x\right)=-6x^{2} +14x-4
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1\purple{\text{1}} eˋre\purple{\text{ère}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=6a=-6
  • b=b= nombre devant xx d'où b=14b=14
  • c=c= nombre seul d'où c=4c=-4
2\purple{\text{2}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de α=b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=142×(6)\alpha =\frac{-14}{2\times\left(-6\right)} d'où :
α=76\alpha =\frac{7}{6}

3\purple{\text{3}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(76)\beta =f\left(\frac{7}{6} \right)
β=6×(76)2+14×764\beta =-6\times\left(\frac{7}{6}\right)^{2} +14\times \frac{7}{6}-4
β=256\beta =\frac{25}{6}

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique\pink{\text{forme canonique}} est : f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne :
f(x)=6(x76)2+256f\left(x\right)=-6\left(x-\frac{7}{6} \right)^{2}+\frac{25}{6}
.
Question 3
En utilisant la forme la plus adapté de ff, déterminer :

Le ou les antécédents par la fonction ff de 00.

Correction
Pour déterminer le ou les antécédents par la fonction ff de 00, il nous faut résoudre l'équation f(x)=0f\left(x\right)=0. Il faudra utiliser la forme factorisée de ff, c'est à dire : f(x)=(3x1)(42x)f\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(4-2x\right) . D'où :
f(x)=0f\left(x\right)=0 équivaut successivement à :
(3x1)(42x)=0\left(3x-1\right)\left(4-2x\right)=0 .
Il s’agit d’une eˊquation produit nul\purple{\text{Il s'agit d'une équation produit nul}}
3x1=03x-1=0 ou\red{\text{ou}} 42x=04-2x=0
3x=13x=1 ou\red{\text{ou}} 2x=4-2x=-4
x=13x=\frac{1}{3} ou\red{\text{ou}} x=42x=\frac{-4}{-2}
x=13x=\frac{1}{3} ou\red{\text{ou}} x=2x=2
Les antécédents de 00 par la fonction ff sont 13\frac{1}{3} et 22.
Question 4

L'image de 00 par ff.

Correction
Il nous faut calculer f(0)f\left(0\right). Pour cela, nous allons utiliser la forme développée f(x)=6x2+14x4f\left(x\right)=-6x^{2} +14x-4 . Ainsi :
f(0)=6×02+14×04f\left(0\right)=-6\times0^{2} +14\times0-4
f(0)=4f\left(0\right)=-4

L'image de 00 par ff est égale à 4-4 .
Question 5

L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)<0f\left(x\right)< 0

Correction
Nous allons utiliser la forme factorisée de ff afin de résoudre l'inéquation f(x)<0f\left(x\right)< 0.
Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
  • 3x103x1x133x-1\ge 0\Leftrightarrow 3x\ge 1\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{3}
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 3x13x-1 lorsque xx sera supérieur ou égale à 13\frac{1}{3}.
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}}
  • 42x02x4x42x24-2x\ge 0\Leftrightarrow -2x\ge -4\Leftrightarrow x\le \frac{-4}{-2} \Leftrightarrow x\le 2
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 42x4-2x lorsque xx sera inférieur ou égale à 22.
    Le tableau du signe de la fonction ff est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)<0f\left(x\right)< 0 est alors :
    S=];13[]2;+[S=\left]-\infty ;\frac{1}{3} \right[\cup \left]2;+\infty \right[
    Question 6

    Le tableau de variation de ff .

    Correction
    Nous allons utiliser la forme canonique de ff afin de déterminer tableau de variation de ff .
    La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
    f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
    Si a>0\red{a>0} alors le tableau de variation de ff est :
    Si a<0\red{a<0} alors le tableau de variation de ff est :
    Nous avons f(x)=6(x76)2+256f\left(x\right)=-6\left(x-\frac{7}{6} \right)^{2}+\frac{25}{6} nous avons donc a=6a=-6 ; α=76\alpha=\frac{7}{6} et β=256\beta=\frac{25}{6}
    Nous pouvons dresser le tableau de variation de ff
    L'extremum ici est un maximum dont les coordonnées sont S(76;256)S\left(\frac{7}{6};\frac{25}{6} \right)