Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Déterminer le signe d'une fonction sous forme factorisée - Exercice 1

20 min
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Question 1
Dresser le tableau de signe de chacune des fonctions suivantes définies sur R\mathbb{R} .

f(x)=(2x−6)(3x−3)f\left(x\right)=\left(2x-6\right)\left(3x-3\right)

Correction
Pour étudier le signe d'un produit :
  • On étudie le signe de chaque facteur.
  • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
  • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
    • 2x−6≥0⇔2x≥6⇔x≥62⇔x≥32x-6\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge6\Leftrightarrow x\ge\frac{6}{2}\Leftrightarrow x\ge3
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 2x−62x-6 lorsque xx sera supérieur ou égale à 33.
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}}
    • 3x−3≥0⇔3x≥3⇔x≥33⇔x≥13x-3\ge0\Leftrightarrow 3x\ge3\Leftrightarrow x\ge\frac{3}{3}\Leftrightarrow x\ge1
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 3x−33x-3 lorsque xx sera supérieur ou égale à 11.
    Le tableau du signe de la fonction ff est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 2

    f(x)=(−3x−6)(2x−8)f\left(x\right)=\left(-3x-6\right)\left(2x-8\right)

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
    • −3x−6≥0⇔−3x≥6⇔x≤6−3⇔x≤−2-3x-6\ge0\Leftrightarrow -3x\ge6\Leftrightarrow x\le\frac{6}{-3}\Leftrightarrow x\le-2
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de −3x−6-3x-6 lorsque xx sera inférieur ou égale à −2-2.
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}}
    • 2x−8≥0⇔2x≥8⇔x≥82⇔x≥42x-8\ge0\Leftrightarrow 2x\ge8\Leftrightarrow x\ge\frac{8}{2}\Leftrightarrow x\ge4
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 2x−82x-8 lorsque xx sera supérieur ou égale à 44.
    Le tableau du signe de la fonction ff est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 3

    f(x)=(−5x+7)(−x+11)f\left(x\right)=\left(-5x+7\right)\left(-x+11\right)

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
    • −5x+7≥0⇔−5x≥−7⇔x≤−7−5⇔x≤75-5x+7\ge0\Leftrightarrow -5x\ge-7\Leftrightarrow x\le\frac{-7}{-5}\Leftrightarrow x\le\frac{7}{5}
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de −5x+7-5x+7 lorsque xx sera inférieur ou égale à 75\frac{7}{5}.
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}}
    • −x+11≥0⇔−x≥−11⇔x≤−11−1⇔x≤11-x+11\ge0\Leftrightarrow -x\ge-11\Leftrightarrow x\le\frac{-11}{-1}\Leftrightarrow x\le11
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de −x+11-x+11 lorsque xx sera inférieur ou égale à 1111.
    Le tableau du signe de la fonction ff est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 4

    f(x)=(−3x+12)(5x+1)f\left(x\right)=\left(-3x+12\right)\left(5x+1\right)

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
    • −3x+12≥0⇔−3x≥−12⇔x≤−12−3⇔x≤4-3x+12\ge0\Leftrightarrow -3x\ge-12\Leftrightarrow x\le\frac{-12}{-3}\Leftrightarrow x\le4
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de −3x+12-3x+12 lorsque xx sera inférieur ou égale à 44.
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}}
    • 5x+1≥0⇔5x≥−1⇔x≥−15⇔x≥−155x+1\ge0\Leftrightarrow 5x\ge-1\Leftrightarrow x\ge\frac{-1}{5}\Leftrightarrow x\ge-\frac{1}{5}
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 5x+15x+1 lorsque xx sera supérieur ou égale à −15-\frac{1}{5}.
    Le tableau du signe de la fonction ff est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)
    Question 5

    f(x)=(4x−3)(6x+12)f\left(x\right)=\left(4x-3\right)\left(6x+12\right)

    Correction

    Pour étudier le signe d'un produit :
    • On étudie le signe de chaque facteur.
    • On regroupe dans un tableau le signe de chaque facteur. La première ligne du tableau contenant les valeurs, rangées dans l'ordre croissant, qui annulent chacun des facteurs.
    • On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne
  •  D’une part :\red{\text{ D'une part :}}
    • 4x−3≥0⇔4x≥3⇔x≥344x-3\ge0\Leftrightarrow 4x\ge3\Leftrightarrow x\ge\frac{3}{4}
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 4x−34x-3 lorsque xx sera supérieur ou égale à 34\frac{3}{4}.
  •  D’autre part :\red{\text{ D'autre part :}}
    • 6x+12≥0⇔6x≥−12⇔x≥−126⇔x≥−26x+12\ge0\Leftrightarrow 6x\ge-12\Leftrightarrow x\ge\frac{-12}{6}\Leftrightarrow x\ge-2
    Cela signifie que l'on va mettre le signe ++ dans la ligne de 6x+126x+12 lorsque xx sera supérieur ou égale à −2-2.
    Le tableau du signe de la fonction ff est donné ci-dessous :
    (On utilise la règle des signes pour remplir la dernière ligne.)