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Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Déterminer la forme factorisée d'un polynôme du second degré à l'aide de sa représentation graphique - Exercice 1

6 min
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On donne ci-dessous la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} d'une fonction polynôme du second degré.
Question 1

Déterminer l'expression de la forme factorisée de ff .

Correction
Forme factorisée
  • Une fonction ff polynôme du second degré admettant deux racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , alors la factorisation de ff est de la forme a(x−x1)(x−x2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right).
ff a pour racine x1=2x_1=2 et x2=7x_2=7 donc sa forme factorisée est alors : f(x)=a(x−2)(x−7)f\left(x\right)=a\left(x-2\right)\left(x-7\right).
Il reste maintenant à déterminer la valeur de aa . Pour cela, le point A(8;−2)A\left(8;-2\right) appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par f(8)=−2f\left(8\right)=-2 .
f(8)=−2f\left(8\right)=-2 équivaut successivement à :
a(8−2)(8−7)=−2a\left(8-2\right)\left(8-7\right)=-2
a×6×1=−2a\times 6\times 1=-2
6a=−26a=-2
a=−26a=\frac{-2}{6}
Finalement : a=−13a=-\frac{1}{3}
L'expression de ff est alors :
f(x)=−13(x−2)(x−7)f\left(x\right)=-\frac{1}{3}\left(x-2\right)\left(x-7\right)