Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Déterminer la forme factorisée d'un polynôme du second degré - Exercice 1

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Question 1
Soit ff une fonction polynôme du second degré. Sa courbe représentative coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 2-2 et 55 et passe par le point A(1;7)A\left(1;7\right) .

Déterminer l'expression factorisée de ff.

Correction
Forme factorisée
  • Une fonction ff polynôme du second degré admettant deux racines x1x{}_{1} et x2x{}_{2} , alors la factorisation de ff est de la forme a(xx1)(xx2)a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right).
La courbe représentative de ff coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses 2-2 et 55 . Nous pouvons ainsi traduire que :
ff a pour racine x1=2x_1=-2 et x2=5x_2=5 donc sa forme factorisée est alors : f(x)=a(x(2))(x5)f\left(x\right)=a\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-5\right).
Ainsi : f(x)=a(x+2)(x5)f\left(x\right)=a\left(x+2\right)\left(x-5\right)
Il reste maintenant à déterminer la valeur de aa . Pour cela, le point A(1;7)A\left(1;7\right) appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par f(1)=7f\left(1\right)=7 .
f(1)=7f\left(1\right)=7 équivaut successivement à :
a(1+2)(15)=7a\left(1+2\right)\left(1-5\right)=7
a×3×(4)=7a\times 3\times \left(-4\right)=7
12a=7-12a=7
Finalement : a=712a=-\frac{7}{12}
L'expression de ff est alors :
f(x)=712(x+2)(x5)f\left(x\right)=-\frac{7}{12}\left(x+2\right)\left(x-5\right)