Déterminer la forme factorisée d'un polynôme du second degré - Exercice 1

La courbe représentative de $$f$$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $$-2$$ et $$5$$ . Nous pouvons ainsi traduire que :
$$f$$ a pour racine $$x_1=-2$$ et $$x_2=5$$ donc sa forme factorisée est alors : $$f\left(x\right)=a\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-5\right)$$.
Ainsi : $$f\left(x\right)=a\left(x+2\right)\left(x-5\right)$$
Il reste maintenant à déterminer la valeur de $$a$$ . Pour cela, le point $$A\left(1;7\right)$$ appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par $$f\left(1\right)=7$$ .
$$f\left(1\right)=7$$ équivaut successivement à :
$$a\left(1+2\right)\left(1-5\right)=7$$
$$a\times 3\times \left(-4\right)=7$$
$$-12a=7$$
Finalement : $$a=-\frac{7}{12}$$
L'expression de $$f$$ est alors :

La courbe représentative de $$f$$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisses $$-6$$ et $$2$$ .
Nous pouvons ainsi traduire que : $$f$$ a pour racine $$x_1=-6$$ et $$x_2=2$$ donc sa forme factorisée est alors : $$f\left(x\right)=a\left(x-\left(-6\right)\right)\left(x-2\right)$$.
Ainsi : $$f\left(x\right)=a\left(x+6\right)\left(x-2\right)$$
Il reste maintenant à déterminer la valeur de $$a$$ .
Pour cela, le point $$A\left(-1;-3\right)$$ appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par $$f\left(-1\right)=-3$$ .
$$f\left(-1\right)=-3$$ équivaut successivement à :
$$a\left(-1+6\right)\left(-1-2\right)=-3$$
$$a\times 5\times \left(-3\right)=-3$$
$$-15a=-3$$
$$a=\frac{-3}{-15}$$
Finalement : $$a=\frac{1}{5}$$
L'expression de $$f$$ est alors :