Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré - Exercice 1

25 min
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Pour chaque fonction, écrire ff sous sa forme canonique.
Pour les trois premiers exemples, nous allons expliquer ligne par ligne comment on procède pour donner la forme canonique.
Les explications sont données en italique. Bien sûr, ces explications ne doivent pas apparaitre sur votre copie avec votre professeur.
Question 1

f(x)=x2−8x+1f\left(x\right)=x^{2} -8x+1

Correction
Nous allons vous proposer deux meˊthodes\text{{\color{blue}{deux méthodes}}} pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
PREMIERE METHODE :\red{\text{PREMIERE METHODE :}}
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1\purple{\text{1}} eˋre\purple{\text{ère}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=−8b=-8
  • c=c= nombre seul d'où c=1c=1
2\purple{\text{2}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−(−8)2×1\alpha =\frac{-\left(-8\right)}{2\times1} d'où :
α=4\alpha =4

3\purple{\text{3}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(4)\beta =f\left(4 \right)
β=42−8×4+1\beta =4^{2} -8\times 4+1
β=16−32+1\beta =16-32+1
β=−15\beta =-15

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique\pink{\text{forme canonique}} est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne : f(x)=1(x−4)2−15f\left(x\right)=1\left(x-4 \right)^{2}-15. Autrement dit :
f(x)=(x−4)2−15f\left(x\right)=\left(x-4 \right)^{2}-15
.
DEUXIEME METHODE :\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}
f(x)=x2−8x+1.f\left(x\right)=x^{2} -8x+1.
Ici, on sait que le coefficient a=1a=1.
On va maintenant prendre le coefficient devant le xx ici −8-8 et le multiplier par 12\frac{1}{2} .
On a ainsi, ci-dessous :
f(x)=(x−8×12)2−(8×12)2+1.f\left(x\right)=\left(x-8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} +1 .
En effet, si on développe (x−8×12)2\left(x-8\times \frac{1}{2} \right)^{2} on obtiendra x2−8x+(8×12)2x^{2} -8x+\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} c'est pour cela que l'on retranche (8×12)2\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} .
On a :
f(x)=(x−8×12)2−(8×12)2+1f\left(x\right)=\left(x-8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} +1 qui s'écrit après simplification
f(x)=(x−4)2−(4)2+1f\left(x\right)=\left(x-4\right)^{2} -\left(4\right)^{2} +1
f(x)=(x−4)2−16+1f\left(x\right)=\left(x-4\right)^{2} -16+1
f(x)=(x−4)2−15f\left(x\right)=\left(x-4\right)^{2} -15

Cette expression est la forme canonique de ff.
Question 2

f(x)=x2+10x+2f\left(x\right)=x^{2} +10x+2

Correction
Nous allons vous proposer deux meˊthodes\text{{\color{blue}{deux méthodes}}} pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
PREMIERE METHODE :\red{\text{PREMIERE METHODE :}}
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1\purple{\text{1}} eˋre\purple{\text{ère}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=1a=1
  • b=b= nombre devant xx d'où b=10b=10
  • c=c= nombre seul d'où c=2c=2
2\purple{\text{2}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−102×1\alpha =\frac{-10}{2\times1} d'où :
α=−5\alpha =-5

3\purple{\text{3}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(−5)\beta =f\left(-5 \right)
β=(−5)2+10×(−5)+2\beta =\left(-5 \right)^{2} +10\times \left(-5 \right)+2
β=25−50+2\beta =25-50+2
β=−23\beta =-23

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique\pink{\text{forme canonique}} est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne : f(x)=1(x−(−5))2−23f\left(x\right)=1\left(x-\left(-5 \right) \right)^{2}-23. Autrement dit :
f(x)=(x+5)2−23f\left(x\right)=\left(x+5\right)^{2} -23
.
DEUXIEME METHODE :\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}
f(x)=x2+10x+2f\left(x\right)=x^{2} +10x+2
Ici, on sait que le coefficient a=1a=1.
On va maintenant prendre le coefficient devant le xx ici 1010 et le multiplier par 12\frac{1}{2} .
On a ainsi, ci-dessous :
f(x)=(x+10×12)2−(10×12)2+2.f\left(x\right)=\left(x+10\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(10\times \frac{1}{2} \right)^{2} +2 .
En effet, si on développe (x+10×12)2\left(x+10\times \frac{1}{2} \right)^{2} on obtiendra x2+10x+(10×12)2x^{2} +10x+\left(10\times \frac{1}{2} \right)^{2} c'est pour cela que l'on retranche (10×12)2\left(10\times \frac{1}{2} \right)^{2} .
On a :
f(x)=(x+10×12)2−(10×12)2+2f\left(x\right)=\left(x+10\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(10\times \frac{1}{2} \right)^{2} +2 qui s'écrit après simplification
f(x)=(x+5)2−52+2f\left(x\right)=\left(x+5\right)^{2} -5^{2} +2
f(x)=(x+5)2−25+2f\left(x\right)=\left(x+5\right)^{2} -25+2
f(x)=(x+5)2−23f\left(x\right)=\left(x+5\right)^{2} -23

Cette expression est la forme canonique de ff.
Question 3

f(x)=2x2−6x+8f\left(x\right)=2x^{2} -6x+8

Correction
Nous allons vous proposer deux meˊthodes\text{{\color{blue}{deux méthodes}}} pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
PREMIERE METHODE :\red{\text{PREMIERE METHODE :}}
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1\purple{\text{1}} eˋre\purple{\text{ère}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=−6b=-6
  • c=c= nombre seul d'où c=8c=8
2\purple{\text{2}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−(−6)2×2\alpha =\frac{-\left(-6\right)}{2\times2} d'où :
α=32\alpha =\frac{3}{2}

3\purple{\text{3}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(32)\beta =f\left(\frac{3}{2} \right)
β=2×(32)2−6×(32)+8\beta =2\times\left(\frac{3}{2} \right)^{2} -6\times \left(\frac{3}{2} \right)+8
β=72\beta =\frac{7}{2}

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique\pink{\text{forme canonique}} est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne :
f(x)=2(x−32)2+72f\left(x\right)=2\left(x-\frac{3}{2} \right)^{2}+\frac{7}{2}
.
DEUXIEME METHODE :\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}
On va commencer par factoriser par le nombre devant le x2x^{2} ici en l'occurrence 22.
f(x)=2×[x2−3x+4]f\left(x\right)=2\times \left[x^{2} -3x+4\right]
On va maintenant prendre le coefficient devant le xx ici −3-3 et le multiplier par 12\frac{1}{2} .
On a ainsi, ci-dessous :
f(x)=2×[(x−3×12)2−(3×12)2+4]f\left(x\right)=2\times \left[\left(x-3\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(3\times \frac{1}{2} \right)^{2} +4\right]
En effet, si on développe (x−3×12)2\left(x-3\times \frac{1}{2} \right)^{2} on obtiendra x2−3x+(3×12)2x^{2} -3x+\left(3\times \frac{1}{2} \right)^{2} c'est pour cela que l'on retranche (3×12)2\left(3\times \frac{1}{2} \right)^{2} .
On a :
f(x)=2×[(x−3×12)2−(3×12)2+4]f\left(x\right)=2\times \left[\left(x-3\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(3\times \frac{1}{2} \right)^{2} +4\right] qui s'écrit après simplification
f(x)=2[(x−32)2−(32)2+4]f\left(x\right)=2\left[\left(x-\frac{3}{2} \right)^{2} -\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +4\right]
f(x)=2[(x−32)2−94+4]f\left(x\right)=2\left[\left(x-\frac{3}{2} \right)^{2} -\frac{9}{4} +4\right]
f(x)=2[(x−32)2+74]f\left(x\right)=2\left[\left(x-\frac{3}{2} \right)^{2} +\frac{7}{4} \right]. On développe l'expression par 22.
f(x)=2(x−32)2+74×2f\left(x\right)=2\left(x-\frac{3}{2} \right)^{2} +\frac{7}{4}\times2
f(x)=2(x−32)2+72f\left(x\right)=2\left(x-\frac{3}{2} \right)^{2} +\frac{7}{2}

Cette expression est la forme canonique de ff.
Question 4

f(x)=−3x2+12x+4f\left(x\right)=-3x^{2} +12x+4

Correction
Nous allons vous proposer deux meˊthodes\text{{\color{blue}{deux méthodes}}} pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
PREMIERE METHODE :\red{\text{PREMIERE METHODE :}}
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1\purple{\text{1}} eˋre\purple{\text{ère}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=−3a=-3
  • b=b= nombre devant xx d'où b=12b=12
  • c=c= nombre seul d'où c=4c=4
2\purple{\text{2}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−122×(−3)\alpha =\frac{-12}{2\times\left(-3\right)} d'où :
α=2\alpha =2

3\purple{\text{3}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(2)\beta =f\left(2 \right)
β=−3×22+12×2+4\beta =-3\times2^{2} +12\times 2+4
β=16\beta =16

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique\pink{\text{forme canonique}} est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne :
f(x)=−3(x−2)2+16f\left(x\right)=-3\left(x-2\right)^{2} +16
.
DEUXIEME METHODE :\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}
On va commencer par factoriser par le nombre devant le x2x^{2} ici en l'occurrence −3-3.
f(x)=−3×[x2−123x−43]f\left(x\right)=-3\times \left[x^{2} -\frac{12}{3} x-\frac{4}{3} \right]
f(x)=−3[x2−4x−43]f\left(x\right)=-3\left[x^{2} -4x-\frac{4}{3} \right]
On va maintenant prendre le coefficient devant le xx ici −4-4 et le multiplier par 12\frac{1}{2} .
On a ainsi, ci-dessous :
f(x)=−3[(x−4×12)2−(4×12)2−43]f\left(x\right)=-3\left[\left(x-4\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(4\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{4}{3} \right]
En effet, si on développe (x−4×12)2\left(x-4\times \frac{1}{2} \right)^{2} on obtiendra x2−4x+(4×12)2x^{2} -4x+\left(4\times \frac{1}{2} \right)^{2} c'est pour cela que l'on retranche (4×12)2\left(4\times \frac{1}{2} \right)^{2} .
On a :
f(x)=−3[(x−4×12)2−(4×12)2−43]f\left(x\right)=-3\left[\left(x-4\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(4\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{4}{3} \right] qui s'écrit après simplification
f(x)=−3[(x−2)2−(2)2−43]f\left(x\right)=-3\left[\left(x-2\right)^{2} -\left(2\right)^{2} -\frac{4}{3} \right]
f(x)=−3[(x−2)2−4−43]f\left(x\right)=-3\left[\left(x-2\right)^{2} -4-\frac{4}{3} \right]
f(x)=−3[(x−2)2−163]f\left(x\right)=-3\left[\left(x-2\right)^{2} -\frac{16}{3} \right]. On développe l'expression par −3-3.
f(x)=−3(x−2)2−163×(−3)f\left(x\right)=-3\left(x-2\right)^{2} -\frac{16}{3}\times\left(-3\right)
f(x)=−3(x−2)2+16f\left(x\right)=-3\left(x-2\right)^{2} +16

Cette expression est la forme canonique de ff.
Question 5

f(x)=2x2+16x−64f\left(x\right)=2x^{2} +16x-64

Correction
Nous allons vous proposer deux meˊthodes\text{{\color{blue}{deux méthodes}}} pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
PREMIERE METHODE :\red{\text{PREMIERE METHODE :}}
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1\purple{\text{1}} eˋre\purple{\text{ère}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=2a=2
  • b=b= nombre devant xx d'où b=16b=16
  • c=c= nombre seul d'où c=−64c=-64
2\purple{\text{2}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−162×2\alpha =\frac{-16}{2\times2} d'où :
α=−4\alpha =-4

3\purple{\text{3}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(−4)\beta =f\left(-4 \right)
β=2×(−4)2+16×(−4)−64\beta =2\times\left(-4 \right)^{2} +16\times \left(-4\right)-64
β=−96\beta =-96

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique\pink{\text{forme canonique}} est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne : f(x)=2(x−(−4))2−96f\left(x\right)=2\left(x-\left(-4 \right) \right)^{2}-96. Autrement dit :
f(x)=2(x+4)2−96f\left(x\right)=2\left(x+4\right)^{2} -96
.
DEUXIEME METHODE :\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}
On va commencer par factoriser par le nombre devant le x2x^{2} ici en l'occurrence 22.
f(x)=2×[x2+8x−32]f\left(x\right)=2\times \left[x^{2} +8x-32\right]
On va maintenant prendre le coefficient devant le xx ici 88 et le multiplier par 12\frac{1}{2} .
On a ainsi, ci-dessous :
f(x)=2[(x+8×12)2−(8×12)2−32]f\left(x\right)=2\left[\left(x+8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -32\right]
En effet, si on développe (x+8×12)2\left(x+8\times \frac{1}{2} \right)^{2} on obtiendra x2+8x+(8×12)2x^{2} +8x+\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} c'est pour cela que l'on retranche (8×12)2\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} .
On a :
f(x)=2[(x+8×12)2−(8×12)2−32]f\left(x\right)=2\left[\left(x+8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -32\right] qui s'écrit après simplification
f(x)=2[(x+4)2−(4)2−32]f\left(x\right)=2\left[\left(x+4\right)^{2} -\left(4\right)^{2} -32\right]
f(x)=2[(x+4)2−16−32]f\left(x\right)=2\left[\left(x+4\right)^{2} -16-32\right]
f(x)=2[(x+4)2−48]f\left(x\right)=2\left[\left(x+4\right)^{2} -48\right] . On développe l'expression par 22.
f(x)=2(x+4)2−48×2f\left(x\right)=2\left(x+4\right)^{2} -48\times2
f(x)=2(x+4)2−96f\left(x\right)=2\left(x+4\right)^{2} -96

Cette expression est la forme canonique de ff.
Question 6

f(x)=4x2+15x+12f\left(x\right)=4x^{2} +15x+12

Correction
Nous allons vous proposer deux meˊthodes\text{{\color{blue}{deux méthodes}}} pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
PREMIERE METHODE :\red{\text{PREMIERE METHODE :}}
Toute fonction polynôme ff de degré 22 définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ax2+bx+cf\left(x\right)=ax^{2}+bx+c avec a≠0a\ne0, peut s'écrire sous la forme :
  • f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta avec α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a} et β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
1\purple{\text{1}} eˋre\purple{\text{ère}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} On définit les valeurs aa, bb et cc.
  • a=a= nombre devant x2x^{2} d'où a=4a=4
  • b=b= nombre devant xx d'où b=15b=15
  • c=c= nombre seul d'où c=12c=12
2\purple{\text{2}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de α=−b2a\alpha =\frac{-b}{2a}
Il vient alors que : α=−152×4\alpha =\frac{-15}{2\times4} d'où :
α=−158\alpha =-\frac{15}{8}

3\purple{\text{3}} eˋme\purple{\text{ème}} eˊtape :\purple{\text{étape :}} Calcul de β=f(α)\beta =f\left(\alpha \right)
Il vient alors que :
β=f(−158)\beta =f\left(-\frac{15}{8} \right)
β=4×(−158)2+15×(−158)+12\beta =4\times\left(-\frac{15}{8} \right)^{2} +15\times \left(-\frac{15}{8}\right)+12
β=−3316\beta =-\frac{33}{16}

Ainsi, pour tout réel xx, la forme canonique\pink{\text{forme canonique}} est : f(x)=a(x−α)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta ce qui nous donne : f(x)=2(x−(−158))2−3316f\left(x\right)=2\left(x-\left(-\frac{15}{8} \right) \right)^{2}-\frac{33}{16}. Autrement dit :
f(x)=4(x+158)2−3316f\left(x\right)=4\left(x+\frac{15}{8} \right)^{2} -\frac{33}{16}
.
DEUXIEME METHODE :\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}
On va commencer par factoriser par le nombre devant le x2x^{2} ici en l'occurrence 44.
f(x)=4×[x2+154x+3]f\left(x\right)=4\times \left[x^{2} +\frac{15}{4}x+3\right]
On va maintenant prendre le coefficient devant le xx ici 154\frac{15}{4} et le multiplier par 12\frac{1}{2} .
On a ainsi, ci-dessous :
f(x)=4×[(x+154×12)2−(154×12)2+3]f\left(x\right)=4\times \left[\left(x+\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} +3\right]
En effet, si on développe (x+154×12)2\left(x+\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} on obtiendra x2−154x+(154×12)2x^{2} -\frac{15}{4}x+\left(\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} c'est pour cela que l'on retranche (154×12)2\left(\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} .
On a :
f(x)=4×[(x+154×12)2−(154×12)2+3]f\left(x\right)=4\times \left[\left(x+\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} +3\right] qui s'écrit après simplification
f(x)=4[(x+158)2−(158)2+3]f\left(x\right)=4\left[\left(x+\frac{15}{8} \right)^{2} -\left(\frac{15}{8} \right)^{2} +3\right]
f(x)=4[(x+158)2−22564+3]f\left(x\right)=4\left[\left(x+\frac{15}{8} \right)^{2} -\frac{225}{64} +3\right]
f(x)=4[(x+158)2−3364]f\left(x\right)=4\left[\left(x+\frac{15}{8} \right)^{2} -\frac{33}{64} \right]. On développe l'expression par 44.
f(x)=4(x+158)2−3364×4f\left(x\right)=4\left(x+\frac{15}{8} \right)^{2} -\frac{33}{64}\times4
f(x)=4(x+158)2−3316f\left(x\right)=4\left(x+\frac{15}{8} \right)^{2} -\frac{33}{16}

Cette expression est la forme canonique de ff.