Déterminer la forme canonique d'un trinôme du second degré - Exercice 1

Nous allons vous proposer $$\text{{\color{blue}{deux méthodes}}}$$ pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
$$\red{\text{PREMIERE METHODE :}}$$
$$\purple{\text{1}}$$ ^{$$\purple{\text{ère}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-8$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=1$$

$$\purple{\text{2}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-\left(-8\right)}{2\times1}$$ d'où :
$$\purple{\text{3}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(4 \right)$$
$$\beta =4^{2} -8\times 4+1$$
$$\beta =16-32+1$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la $$\pink{\text{forme canonique}}$$ est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne : $$f\left(x\right)=1\left(x-4 \right)^{2}-15$$. Autrement dit : .
$$\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}$$
$$f\left(x\right)=x^{2} -8x+1.$$
Ici, on sait que le coefficient $$a=1$$.
On va maintenant prendre le coefficient devant le $$x$$ ici $$-8$$ et le multiplier par $$\frac{1}{2}$$.
On a ainsi, ci-dessous :
$$f\left(x\right)=\left(x-8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} +1 .$$
En effet, si on développe $$\left(x-8\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$on obtiendra $$x^{2} -8x+\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$c'est pour cela que l'on retranche $$\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$.
On a :
$$f\left(x\right)=\left(x-8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} +1$$ qui s'écrit après simplification
$$f\left(x\right)=\left(x-4\right)^{2} -\left(4\right)^{2} +1$$
$$f\left(x\right)=\left(x-4\right)^{2} -16+1$$

Cette expression est la forme canonique de $$f$$.

Nous allons vous proposer $$\text{{\color{blue}{deux méthodes}}}$$ pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
$$\red{\text{PREMIERE METHODE :}}$$
$$\purple{\text{1}}$$ ^{$$\purple{\text{ère}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=1$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=10$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=2$$

$$\purple{\text{2}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-10}{2\times1}$$ d'où :
$$\purple{\text{3}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(-5 \right)$$
$$\beta =\left(-5 \right)^{2} +10\times \left(-5 \right)+2$$
$$\beta =25-50+2$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la $$\pink{\text{forme canonique}}$$ est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne : $$f\left(x\right)=1\left(x-\left(-5 \right) \right)^{2}-23$$. Autrement dit : .
$$\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}$$
$$f\left(x\right)=x^{2} +10x+2$$
Ici, on sait que le coefficient $$a=1$$.
On va maintenant prendre le coefficient devant le $$x$$ ici $$10$$ et le multiplier par $$\frac{1}{2}$$.
On a ainsi, ci-dessous :
$$f\left(x\right)=\left(x+10\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(10\times \frac{1}{2} \right)^{2} +2 .$$
En effet, si on développe $$\left(x+10\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$on obtiendra $$x^{2} +10x+\left(10\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$c'est pour cela que l'on retranche $$\left(10\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$.
On a :
$$f\left(x\right)=\left(x+10\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(10\times \frac{1}{2} \right)^{2} +2$$ qui s'écrit après simplification
$$f\left(x\right)=\left(x+5\right)^{2} -5^{2} +2$$
$$f\left(x\right)=\left(x+5\right)^{2} -25+2$$

Cette expression est la forme canonique de $$f$$.

Nous allons vous proposer $$\text{{\color{blue}{deux méthodes}}}$$ pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
$$\red{\text{PREMIERE METHODE :}}$$
$$\purple{\text{1}}$$ ^{$$\purple{\text{ère}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=-6$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=8$$

$$\purple{\text{2}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-\left(-6\right)}{2\times2}$$ d'où :
$$\purple{\text{3}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(\frac{3}{2} \right)$$
$$\beta =2\times\left(\frac{3}{2} \right)^{2} -6\times \left(\frac{3}{2} \right)+8$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la $$\pink{\text{forme canonique}}$$ est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne : .
$$\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}$$
On va commencer par factoriser par le nombre devant le $$x^{2}$$ ici en l'occurrence $$2$$.
$$f\left(x\right)=2\times \left[x^{2} -3x+4\right]$$
On va maintenant prendre le coefficient devant le $$x$$ ici $$-3$$ et le multiplier par $$\frac{1}{2}$$.
On a ainsi, ci-dessous :
$$f\left(x\right)=2\times \left[\left(x-3\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(3\times \frac{1}{2} \right)^{2} +4\right]$$
En effet, si on développe $$\left(x-3\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$on obtiendra $$x^{2} -3x+\left(3\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$c'est pour cela que l'on retranche $$\left(3\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$.
On a :
$$f\left(x\right)=2\times \left[\left(x-3\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(3\times \frac{1}{2} \right)^{2} +4\right]$$ qui s'écrit après simplification
$$f\left(x\right)=2\left[\left(x-\frac{3}{2} \right)^{2} -\left(\frac{3}{2} \right)^{2} +4\right]$$
$$f\left(x\right)=2\left[\left(x-\frac{3}{2} \right)^{2} -\frac{9}{4} +4\right]$$
$$f\left(x\right)=2\left[\left(x-\frac{3}{2} \right)^{2} +\frac{7}{4} \right]$$. On développe l'expression par $$2$$.
$$f\left(x\right)=2\left(x-\frac{3}{2} \right)^{2} +\frac{7}{4}\times2$$

Cette expression est la forme canonique de $$f$$.

Nous allons vous proposer $$\text{{\color{blue}{deux méthodes}}}$$ pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
$$\red{\text{PREMIERE METHODE :}}$$
$$\purple{\text{1}}$$ ^{$$\purple{\text{ère}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=-3$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=12$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=4$$

$$\purple{\text{2}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-12}{2\times\left(-3\right)}$$ d'où :
$$\purple{\text{3}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(2 \right)$$
$$\beta =-3\times2^{2} +12\times 2+4$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la $$\pink{\text{forme canonique}}$$ est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne : .
$$\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}$$
On va commencer par factoriser par le nombre devant le $$x^{2}$$ ici en l'occurrence $$-3$$.
$$f\left(x\right)=-3\times \left[x^{2} -\frac{12}{3} x-\frac{4}{3} \right]$$
$$f\left(x\right)=-3\left[x^{2} -4x-\frac{4}{3} \right]$$
On va maintenant prendre le coefficient devant le $$x$$ ici $$-4$$ et le multiplier par $$\frac{1}{2}$$.
On a ainsi, ci-dessous :
$$f\left(x\right)=-3\left[\left(x-4\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(4\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{4}{3} \right]$$
En effet, si on développe $$\left(x-4\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$on obtiendra $$x^{2} -4x+\left(4\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$c'est pour cela que l'on retranche $$\left(4\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$.
On a :
$$f\left(x\right)=-3\left[\left(x-4\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(4\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{4}{3} \right]$$ qui s'écrit après simplification
$$f\left(x\right)=-3\left[\left(x-2\right)^{2} -\left(2\right)^{2} -\frac{4}{3} \right]$$
$$f\left(x\right)=-3\left[\left(x-2\right)^{2} -4-\frac{4}{3} \right]$$
$$f\left(x\right)=-3\left[\left(x-2\right)^{2} -\frac{16}{3} \right]$$. On développe l'expression par $$-3$$.
$$f\left(x\right)=-3\left(x-2\right)^{2} -\frac{16}{3}\times\left(-3\right)$$

Cette expression est la forme canonique de $$f$$.

Nous allons vous proposer $$\text{{\color{blue}{deux méthodes}}}$$ pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
$$\red{\text{PREMIERE METHODE :}}$$
$$\purple{\text{1}}$$ ^{$$\purple{\text{ère}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=2$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=16$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=-64$$

$$\purple{\text{2}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-16}{2\times2}$$ d'où :
$$\purple{\text{3}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(-4 \right)$$
$$\beta =2\times\left(-4 \right)^{2} +16\times \left(-4\right)-64$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la $$\pink{\text{forme canonique}}$$ est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne : $$f\left(x\right)=2\left(x-\left(-4 \right) \right)^{2}-96$$. Autrement dit : .
$$\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}$$
On va commencer par factoriser par le nombre devant le $$x^{2}$$ ici en l'occurrence $$2$$.
$$f\left(x\right)=2\times \left[x^{2} +8x-32\right]$$
On va maintenant prendre le coefficient devant le $$x$$ ici $$8$$ et le multiplier par $$\frac{1}{2}$$.
On a ainsi, ci-dessous :
$$f\left(x\right)=2\left[\left(x+8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -32\right]$$
En effet, si on développe $$\left(x+8\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$on obtiendra $$x^{2} +8x+\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$c'est pour cela que l'on retranche $$\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$.
On a :
$$f\left(x\right)=2\left[\left(x+8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(8\times \frac{1}{2} \right)^{2} -32\right]$$ qui s'écrit après simplification
$$f\left(x\right)=2\left[\left(x+4\right)^{2} -\left(4\right)^{2} -32\right]$$
$$f\left(x\right)=2\left[\left(x+4\right)^{2} -16-32\right]$$
$$f\left(x\right)=2\left[\left(x+4\right)^{2} -48\right]$$ . On développe l'expression par $$2$$.
$$f\left(x\right)=2\left(x+4\right)^{2} -48\times2$$

Cette expression est la forme canonique de $$f$$.

Nous allons vous proposer $$\text{{\color{blue}{deux méthodes}}}$$ pour répondre à cette question. A vous de choisir celle qui vous correspond le mieux .
$$\red{\text{PREMIERE METHODE :}}$$
$$\purple{\text{1}}$$ ^{$$\purple{\text{ère}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ On définit les valeurs $$a$$, $$b$$ et $$c$$.

• $$a=$$ nombre devant $$x^{2}$$ d'où $$a=4$$
• $$b=$$ nombre devant $$x$$ d'où $$b=15$$
• $$c=$$ nombre seul d'où $$c=12$$

$$\purple{\text{2}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\alpha =\frac{-b}{2a}$$
Il vient alors que : $$\alpha =\frac{-15}{2\times4}$$ d'où :
$$\purple{\text{3}}$$ ^{$$\purple{\text{ème}}$$} $$\purple{\text{étape :}}$$ Calcul de $$\beta =f\left(\alpha \right)$$
Il vient alors que :
$$\beta =f\left(-\frac{15}{8} \right)$$
$$\beta =4\times\left(-\frac{15}{8} \right)^{2} +15\times \left(-\frac{15}{8}\right)+12$$

Ainsi, pour tout réel $$x$$, la $$\pink{\text{forme canonique}}$$ est : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$ ce qui nous donne : $$f\left(x\right)=2\left(x-\left(-\frac{15}{8} \right) \right)^{2}-\frac{33}{16}$$. Autrement dit : .
$$\red{\text{DEUXIEME METHODE :}}$$
On va commencer par factoriser par le nombre devant le $$x^{2}$$ ici en l'occurrence $$4$$.
$$f\left(x\right)=4\times \left[x^{2} +\frac{15}{4}x+3\right]$$
On va maintenant prendre le coefficient devant le $$x$$ ici $$\frac{15}{4}$$ et le multiplier par $$\frac{1}{2}$$.
On a ainsi, ci-dessous :
$$f\left(x\right)=4\times \left[\left(x+\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} +3\right]$$
En effet, si on développe $$\left(x+\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$on obtiendra $$x^{2} -\frac{15}{4}x+\left(\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$c'est pour cela que l'on retranche $$\left(\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2}$$.
On a :
$$f\left(x\right)=4\times \left[\left(x+\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} -\left(\frac{15}{4}\times \frac{1}{2} \right)^{2} +3\right]$$ qui s'écrit après simplification
$$f\left(x\right)=4\left[\left(x+\frac{15}{8} \right)^{2} -\left(\frac{15}{8} \right)^{2} +3\right]$$
$$f\left(x\right)=4\left[\left(x+\frac{15}{8} \right)^{2} -\frac{225}{64} +3\right]$$
$$f\left(x\right)=4\left[\left(x+\frac{15}{8} \right)^{2} -\frac{33}{64} \right]$$. On développe l'expression par $$4$$.
$$f\left(x\right)=4\left(x+\frac{15}{8} \right)^{2} -\frac{33}{64}\times4$$

Cette expression est la forme canonique de $$f$$.