Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Déterminer la forme canonique d'un polynôme du second degré à l'aide de sa représentation graphique - Exercice 2

6 min
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On donne ci-dessous la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} d'une fonction polynôme du second degré.
Question 1

Déterminer l'expression de la forme canonique de ff .

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
D'après le graphique, nous pouvons lire les valeurs de α\alpha et β\beta qui correspondent respectivement à l'abscisse et à l'ordonnée du sommet de la parabole.
Il vient alors que : α=4\alpha=4 et β=3\beta=-3
D'après notre rappel, la forme canonique de ff s'écrit : f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
Ce qui nous donne alors :
f(x)=a(x4)23f\left(x\right)=a\left(x-4\right)^{2} -3
Il reste maintenant à déterminer la valeur de aa . Pour cela, le point A(2;1)A\left(2;1\right) appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par f(2)=1f\left(2\right)=1
Il nous suffit alors de remplacer tous les xx par 22 dans l'expression de ff afin d'obtenir la valeur de aa .
Ainsi :
f(2)=1f\left(2\right)=1 équivaut successivement à :
a(24)23=1a\left(2-4\right)^{2} -3=1
a×(2)23=1a\times\left(-2\right)^{2} -3=1
4a3=14a -3=1
4a=1+34a =1+3
4a=44a =4
Soit : a=44=1a =\frac{4}{4}=1
Finalement , l'expression de la forme canonique de ff est :
f(x)=1(x4)23f\left(x\right)=1\left(x-4\right)^{2} -3
que l'on écrit f(x)=(x4)23f\left(x\right)=\left(x-4\right)^{2} -3