Déterminer la forme canonique d'un polynôme du second degré à l'aide de sa représentation graphique - Exercice 2

D'après le graphique, nous pouvons lire les valeurs de $$\alpha$$ et $$\beta$$ qui correspondent respectivement à l'abscisse et à l'ordonnée du sommet de la parabole.
Il vient alors que : $$\alpha=4$$ et $$\beta=-3$$
D'après notre rappel, la forme canonique de $$f$$ s'écrit : $$f\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta$$
Ce qui nous donne alors :
$$f\left(x\right)=a\left(x-4\right)^{2} -3$$
Il reste maintenant à déterminer la valeur de $$a$$ . Pour cela, le point $$A\left(2;1\right)$$ appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par $$f\left(2\right)=1$$
Il nous suffit alors de remplacer tous les $$x$$ par $$2$$ dans l'expression de $$f$$ afin d'obtenir la valeur de $$a$$ .
Ainsi :
$$f\left(2\right)=1$$ équivaut successivement à :
$$a\left(2-4\right)^{2} -3=1$$
$$a\times\left(-2\right)^{2} -3=1$$
$$4a -3=1$$
$$4a =1+3$$
$$4a =4$$
Soit : $$a =\frac{4}{4}=1$$
Finalement , l'expression de la forme canonique de $$f$$ est : que l'on écrit $$f\left(x\right)=\left(x-4\right)^{2} -3$$