Second degré (partie 1) : forme canonique, forme factorisée (sans la notion de discriminant)

Déterminer la forme canonique d'un polynôme du second degré à l'aide de sa représentation graphique - Exercice 1

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On donne ci-dessous la courbe représentative Cf\mathscr{C_f} d'une fonction polynôme du second degré.
Question 1

Déterminer l'expression de la forme canonique de ff .

Correction
La forme canonique\purple{\text{forme canonique}} d'une fonction polynôme du second degré est :
f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta S(α;β)S\left(\alpha ;\beta \right) correspond au sommet de la parabole.
D'après le graphique, nous pouvons lire les valeurs de β\beta et α\alpha .
Il vient alors que : α=5\alpha=5 et β=3\beta=3
D'après notre rappel, la forme canonique de ff s'écrit : f(x)=a(xα)2+βf\left(x\right)=a\left(x-\alpha \right)^{2} +\beta
Ce qui nous donne alors :
f(x)=a(x5)2+3f\left(x\right)=a\left(x-5\right)^{2} +3
Il reste maintenant à déterminer la valeur de aa . Pour cela, le point A(3;2)A\left(3;2\right) appartient à la parabole . Nous pouvons traduire cette donnée par f(3)=2f\left(3\right)=2
Il nous suffit alors de remplacer tous les xx par 33 dans l'expression de ff afin d'obtenir la valeur de aa .
Ainsi :
f(3)=2f\left(3\right)=2 équivaut successivement à :
a(35)2+3=2a\left(3-5\right)^{2} +3=2
a×(2)2+3=2a\times\left(-2\right)^{2} +3=2
4a+3=24a +3=2
4a=234a =2-3
4a=14a =-1
Soit : a=14=14a =\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}
Finalement , l'expression de la forme canonique de ff est :
f(x)=14(x5)2+3f\left(x\right)=-\frac{1}{4}\left(x-5\right)^{2} +3