Vecteur normal et équation de droite - Exercice 2

Soient $$\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-5} \end{array}\right)$$ des vecteurs normaux respectifs aux droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$.
$$\overrightarrow{n_{1} } \cdot \overrightarrow{n_{2} } =2\times 1+3\times \left(-5 \right)\ne 0$$. Il en résulte que les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ ne sont pas perpendiculaires.

Soient $$\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)$$ des vecteurs normaux respectifs aux droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$.
$$\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } =1\times 4+2\times \left(-2 \right)= 0$$. Il en résulte que les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ sont perpendiculaires.

$$\left(d_{1}\right)$$ est sous la forme réduite est : $$y=-3x+1$$. Ecrivons sa forme cartésienne, il vient alors que : $$3x+y-1=0$$
Soient $$\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-4} \end{array}\right)$$ des vecteurs normaux respectifs aux droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$.
$$\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } =3\times \left(-2 \right)+1\times \left(-4\right)\ne0$$. Il en résulte que les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ ne sont pas perpendiculaires.

Soient $$\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {m} \end{array}\right)$$ et $$\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)$$ des vecteurs normaux respectifs aux droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$. Nous voulons déterminer la valeur de $$m$$ pour que les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ soient perpendiculaires.
Ainsi :
$$\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } =0$$.
$$\left(-1 \right)\times 2+m\times 4=0$$.
$$4m=2$$
D'où :
Il en résulte que les droites $$\left(d_{1} \right)$$ et $$\left(d_{2} \right)$$ sont perpendiculaires lorsque $$m=\frac{1}{2}$$.