Vecteur normal et équation de droite - Produit scalaire - Spécialité

Question 1

Dans chacun des cas suivants, dites si les droites

\left(d_{1}\right)

et

\left(d_{2}\right)

sont perpendiculaires.

$d_{1} :2x+3y-4=0$ et $d_{2} :x-5y+1=0$

Correction

\overrightarrow{n_{1} }

\left(d_{1} \right)

\overrightarrow{n_{2} }

\left(d_{2} \right)

si $\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } =0$ alors $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont perpendiculaires.
si $\overrightarrow{n_{1} } \cdot\overrightarrow{n_{2} } \ne 0$ alors $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont pas perpendiculaires.

Soient

\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \end{array}\right)

et

\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {-5} \end{array}\right)

des vecteurs normaux respectifs aux droites

\left(d_{1} \right)

et

\left(d_{2} \right)

.

\overrightarrow{n_{1} } \cdot \overrightarrow{n_{2} } =2\times 1+3\times \left(-5 \right)\ne 0

. Il en résulte que les droites

\left(d_{1} \right)

et

\left(d_{2} \right)

ne sont pas perpendiculaires.

Question 2

$d_{1} :x+2y+1=0$ et $d_{2} :4x-2y-6=0$

Correction

\overrightarrow{n_{1} }

\left(d_{1} \right)

\overrightarrow{n_{2} }

\left(d_{2} \right)

si $\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } =0$ alors $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont perpendiculaires.
si $\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } \ne 0$ alors $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont pas perpendiculaires.

Soient

\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \end{array}\right)

et

\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-2} \end{array}\right)

des vecteurs normaux respectifs aux droites

\left(d_{1} \right)

et

\left(d_{2} \right)

.

\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } =1\times 4+2\times \left(-2 \right)= 0

. Il en résulte que les droites

\left(d_{1} \right)

et

\left(d_{2} \right)

sont perpendiculaires.

Question 3

$d_{1} :y=-3x+1$ et $d_{2} :-2x-4y=0$

Correction

\overrightarrow{n_{1} }

\left(d_{1} \right)

\overrightarrow{n_{2} }

\left(d_{2} \right)

si $\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } =0$ alors $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont perpendiculaires.
si $\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } \ne 0$ alors $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont pas perpendiculaires.

\left(d_{1}\right)

est sous la forme réduite est :

y=-3x+1

. Ecrivons sa forme cartésienne, il vient alors que :

3x+y-1=0

Soient

\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)

et

\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {-2} \\ {-4} \end{array}\right)

des vecteurs normaux respectifs aux droites

\left(d_{1} \right)

et

\left(d_{2} \right)

.

\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } =3\times \left(-2 \right)+1\times \left(-4\right)\ne0

. Il en résulte que les droites

\left(d_{1} \right)

et

\left(d_{2} \right)

ne sont pas perpendiculaires.

Question 4

Pour quelle valeur du paramètre $m$ la droite $\left(d_{1} \right)$ d'équation : $-x+my-1=0$ est-elle perpendiculaire à la droite $\left(d_{2} \right)$ d'équation : $2x+4y+3=0$ .

Correction

\overrightarrow{n_{1} }

\left(d_{1} \right)

\overrightarrow{n_{2} }

\left(d_{2} \right)

si $\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } =0$ alors $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ sont perpendiculaires.
si $\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } \ne 0$ alors $\left(d_{1} \right)$ et $\left(d_{2} \right)$ ne sont pas perpendiculaires.

Soient

\overrightarrow{n_{1} } \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {m} \end{array}\right)

et

\overrightarrow{n_{2} } \left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right)

des vecteurs normaux respectifs aux droites

\left(d_{1} \right)

et

\left(d_{2} \right)

. Nous voulons déterminer la valeur de

m

pour que les droites

\left(d_{1} \right)

et

\left(d_{2} \right)

soient perpendiculaires.
Ainsi :

\overrightarrow{n_{1} } .\overrightarrow{n_{2} } =0

.

\left(-1 \right)\times 2+m\times 4=0

.

4m=2

D'où :

m=\frac{1}{2}

Il en résulte que les droites

\left(d_{1} \right)

et

\left(d_{2} \right)

sont perpendiculaires lorsque

m=\frac{1}{2}

.

Vecteur normal et équation de droite - Exercice 2

d1:2x+3y−4=0d_{1} :2x+3y-4=0d1​:2x+3y−4=0 et d2:x−5y+1=0d_{2} :x-5y+1=0d2​:x−5y+1=0

d1:x+2y+1=0d_{1} :x+2y+1=0d1​:x+2y+1=0 et d2:4x−2y−6=0d_{2} :4x-2y-6=0d2​:4x−2y−6=0

d1:y=−3x+1d_{1} :y=-3x+1d1​:y=−3x+1 et d2:−2x−4y=0d_{2} :-2x-4y=0d2​:−2x−4y=0

Pour quelle valeur du paramètre mmm la droite (d1)\left(d_{1} \right)(d1​) d'équation : −x+my−1=0-x+my-1=0−x+my−1=0 est-elle perpendiculaire à la droite (d2)\left(d_{2} \right)(d2​) d'équation : 2x+4y+3=02x+4y+3=02x+4y+3=0.

$d_{1} :2x+3y-4=0$ et $d_{2} :x-5y+1=0$

$d_{1} :x+2y+1=0$ et $d_{2} :4x-2y-6=0$

$d_{1} :y=-3x+1$ et $d_{2} :-2x-4y=0$

Pour quelle valeur du paramètre $m$ la droite $\left(d_{1} \right)$ d'équation : $-x+my-1=0$ est-elle perpendiculaire à la droite $\left(d_{2} \right)$ d'équation : $2x+4y+3=0$ .