Produit scalaire

Savoir étudier un ensemble de points MA→⋅MB→=k\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =k - Exercice 2

5 min
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Question 1
Soit (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) un repère orthonormé. On considère également les points A(−2;2)A\left(-2;2\right) et B(4;10)B\left(4;10\right) .

Déterminer et représenter l'ensemble des points MM du plan vérifiant MA→⋅MB→=−21\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =-21

Correction
Soit II le milieu du segment [AB]\left[AB\right] .
  • Pour tout point MM du plan, on a :
    MA→⋅MB→=MI2−AB24\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4}
    où II est le milieu du segment [AB]\left[AB\right]
Nous allons commencer par calculer la distance ABAB. Ainsi :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{\left(x_{B} -x_{A} \right)^{2} +\left(y_{B} -y_{A} \right)^{2} }
AB=(4−(−2))2+(10−2)2AB=\sqrt{\left(4-\left(-2\right)\right)^{2} +\left(10-2\right)^{2} }
AB=100AB=\sqrt{100}
D'où :
AB=10AB=10

D'après le rappel, nous savons que MA→⋅MB→=MI2−AB24\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4} où II est le milieu du segment [AB]\left[AB\right].
Ce qui nous donne ici :
MI2−AB24=−21MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4} =-21
MI2−1024=−21MI^{2} -\frac{10^{2} }{4} =-21
MI2−1004=−21MI^{2} -\frac{100 }{4} =-21
MI2−25=−21MI^{2} -25 =-21
MI2=−21+25MI^{2} =-21+25
MI2=4MI^{2} =4
MI=4MI =\sqrt{4}
MI=2MI =2

L'ensemble des points MM vérifiant MA→⋅MB→=−21\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =-21 est le cercle C\mathscr{C} de centre II et de rayon 22 .