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Savoir étudier un ensemble de points MA→⋅MB→=k\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =k - Exercice 1

5 min
20
Question 1
Soient AA et BB deux points du plan tels que AB=8AB=8 cm .

Déterminer et représenter l'ensemble des points MM du plan vérifiant MA→⋅MB→=17\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =17

Correction
Soit II le milieu du segment [AB]\left[AB\right] .
  • Pour tout point MM du plan, on a :
    MA→⋅MB→=MI2−AB24\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4}
    où II est le milieu du segment [AB]\left[AB\right]
Ainsi :
MA→⋅MB→=17\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =17 équivaut successivement à :
MI2−AB24=17MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4} =17
MI2−824=17MI^{2} -\frac{8^{2} }{4} =17
MI2−644=17MI^{2} -\frac{64 }{4} =17
MI2−16=17MI^{2} -16 =17
MI2=17+8MI^{2} =17+8
MI2=33MI^{2} =33
MI=33MI =\sqrt{33}

L'ensemble des points MM vérifiant MA→⋅MB→=17\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =17 est le cercle C\mathscr{C} de centre II et de rayon 33\sqrt{33} .
Question 2

Déterminer et représenter l'ensemble des points MM du plan vérifiant MA→⋅MB→=2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =2

Correction
Soit II le milieu du segment [AB]\left[AB\right] .
  • Pour tout point MM du plan, on a :
    MA→⋅MB→=MI2−AB24\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4}
    où II est le milieu du segment [AB]\left[AB\right]
Ainsi :
MA→⋅MB→=2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =2 équivaut successivement à :
MI2−AB24=2MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4} =2
MI2−824=2MI^{2} -\frac{8^{2} }{4} =2
MI2−644=2MI^{2} -\frac{64 }{4} =2
MI2−16=2MI^{2} -16 =2
MI2=2+16MI^{2} =2+16
MI2=18MI^{2} =18
MI=18=32MI =\sqrt{18}=3\sqrt{2}

L'ensemble des points MM vérifiant MA→⋅MB→=2\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =2 est le cercle C\mathscr{C} de centre II et de rayon 323\sqrt{2} .
Question 3

Déterminer et représenter l'ensemble des points MM du plan vérifiant MA→⋅MB→=−16\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =-16

Correction
Soit II le milieu du segment [AB]\left[AB\right] .
  • Pour tout point MM du plan, on a :
    MA→⋅MB→=MI2−AB24\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4}
    où II est le milieu du segment [AB]\left[AB\right]
Ainsi :
MA→⋅MB→=−16\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =-16 équivaut successivement à :
MI2−AB24=−16MI^{2} -\frac{AB^{2} }{4} =-16
MI2−824=−16MI^{2} -\frac{8^{2} }{4} =-16
MI2−644=−16MI^{2} -\frac{64 }{4} =-16
MI2−16=−16MI^{2} -16 =-16
MI2=−16+16MI^{2} =-16+16
MI2=0MI^{2} =0
MI=0MI =0

L'ensemble des points MM vérifiant MA→⋅MB→=−16\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =-16 est réduit au point II .