Produit scalaire

QCM

Exercice 1

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier.
1

Si u=6\left\| \overrightarrow{u}\right\| =6 ; v=2\left\| \overrightarrow{v}\right\| =2 et uv=24\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=24 alors cos(u,v)=14\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{1}{4}

Correction
2

Si les points AA, BB et CC sont alignés alors ABAC=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =AB\times AC

Correction
3

Soient les points AA, BB , CC et DD tels que ABAC=5\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =5 et ABAD=7\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =7 . Alors ABCD=1\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{CD} =1

Correction
On considère les points A(1;2)A\left(1;2\right) , B(0;3)B\left(0;3\right) , C(2;1)C\left(-2;1\right) et D(4;5)D\left(4;-5\right) .
4

Les droites (AB)\left(AB\right) et (CD)\left(CD\right) sont perpendiculaires .

Correction
5

ABCABC est un triangle tel que AB=5AB=5 , AC=6AC=6 et BAC^=π4\widehat{BAC}=\frac{\pi}{4}. Alors : ABAC=15×2\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}=15\times \sqrt{2}

Correction
6

u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont deux vecteurs orthogonaux tels que u=3\left\| \overrightarrow{u} \right\|=3 et v=2\left\| \overrightarrow{v} \right\|=2 . On a : (u+v)(2uv)=12\left(\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(2\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} \right)=12 .

Correction
7

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations 2x+y+1=02x+y+1=0 et 3x2y+5=03x-2y+5=0 sont sécantes en I(1;1)I\left(1;-1\right) .

Correction
8

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les vecteurs u(m+1;1)\overrightarrow{u}\left(m+1;-1\right) et v(m;2)\overrightarrow{v}\left(m;2\right)mm est un réel.
Une valeur de mm pour laquelle les vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} sont orthogonaux est m=1m=-1 .

Correction
9

Soit xx un nombre réel. On munit le plan du repère orthonormé (O;i;j)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} \right) . On considère les vecteurs u(sin(x)cos(x))\overrightarrow{u} \left(\begin{array}{c} {-\sin \left(x\right)} \\ {\cos \left(x\right)} \end{array}\right) et v(cos(x)sin(x))\overrightarrow{v} \left(\begin{array}{c} {\cos \left(x\right)} \\ {\sin \left(x\right)} \end{array}\right) .
Alors uv=sin2(x)cos2(x)\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =-\sin^{2} \left(x\right)-\cos^{2} \left(x\right)

Correction
10

Soient AA et BB deux points du plan tels que AB=6AB=6 cm . L'ensemble des points MM du plan vérifiant MAMB=16\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} =16 est le cercle C\mathscr{C} de centre II et de rayon 2525 .

Correction
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