Produit scalaire

Propriétés de calculs du produit scalaire : symétrie, bilinéarité - Exercice 4

5 min
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Soient u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} deux vecteurs tels que : ∥u→∥=6\left\| \overrightarrow{u} \right\| =6 ; ∥v→∥=5\left\| \overrightarrow{v} \right\| =5 et u→⋅v→=−3\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =-3
Question 1

Calculer (u→−v→)⋅(3u→+2v→)\left(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(3\overrightarrow{u} +2\overrightarrow{v} \right)

Correction
(u→−v→)⋅(3u→+2v→)=3u→⋅u→+2u→⋅v→−3v→⋅u→−2v→⋅v→\left(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(3\overrightarrow{u} +2\overrightarrow{v} \right)=3\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} +2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -3\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} -2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
  • Soient deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} . Le produit scalaire est symétrique alors :
    u→⋅v→=v→⋅u→\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}
(u→−v→)⋅(3u→+2v→)=3u→⋅u→+2u→⋅v→−3u→⋅v→−2v→⋅v→\left(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(3\overrightarrow{u} +2\overrightarrow{v} \right)=3\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} +2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -3\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
(u→−v→)⋅(3u→+2v→)=3u→⋅u→−u→⋅v→−2v→⋅v→\left(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(3\overrightarrow{u} +2\overrightarrow{v} \right)=3\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} -\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -2\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
  • Soient un vecteur u→\overrightarrow{u} alors :
    u→⋅u→=∥u→∥2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2}
(u→−v→)⋅(3u→+2v→)=3∥u→∥2−u→⋅v→−2∥v→∥2\left(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(3\overrightarrow{u} +2\overrightarrow{v} \right)=3\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} -\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -2\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2}
(u→−v→)⋅(3u→+2v→)=3×62−(−3)−2×52\left(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(3\overrightarrow{u} +2\overrightarrow{v} \right)=3\times 6^{2} -\left(-3\right)-2\times 5^{2}
(u→−v→)⋅(3u→+2v→)=3×36+3−2×25\left(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(3\overrightarrow{u} +2\overrightarrow{v} \right)=3\times 36+3-2\times 25
(u→−v→)⋅(3u→+2v→)=108+3−50\left(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(3\overrightarrow{u} +2\overrightarrow{v} \right)=108+3-50
Ainsi :
(u→−v→)⋅(3u→+2v→)=61\left(\overrightarrow{u} -\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(3\overrightarrow{u} +2\overrightarrow{v} \right)=61