Produit scalaire

Propriétés de calculs du produit scalaire : symétrie, bilinéarité - Exercice 3

5 min
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Soient u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} deux vecteurs tels que : u=54\left\| \overrightarrow{u} \right\| =\frac{5}{4} ; v=2\left\| \overrightarrow{v} \right\| =2 et uv=35\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\frac{3}{5}
Question 1

Calculer (2u+v)(4u3v)\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)

Correction
(2u+v)(4u3v)=8uu6uv+4vu3vv\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} -6\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +4\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
  • Soient deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} . Le produit scalaire est symétrique alors :
    uv=vu\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}
(2u+v)(4u3v)=8uu6uv+4uv3vv\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} -6\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -3\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
(2u+v)(4u3v)=8uu2uv3vv\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} -2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -3\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}
  • Soient un vecteur u\overrightarrow{u} alors :
    uu=u2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2}
(2u+v)(4u3v)=8u22uv3v2\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} -2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} -3\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2}
(2u+v)(4u3v)=8×(54)22×353×22\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\times \left(\frac{5}{4} \right)^{2} -2\times \frac{3}{5} -3\times 2^{2}
(2u+v)(4u3v)=8×25162×353×4\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=8\times \frac{25}{16} -2\times \frac{3}{5} -3\times 4
(2u+v)(4u3v)=2526512\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=\frac{25}{2} -\frac{6}{5} -12
Ainsi :
(2u+v)(4u3v)=710\left(2\overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right)\cdot \left(4\overrightarrow{u} -3\overrightarrow{v} \right)=-\frac{7}{10}