Produit scalaire

Propriétés de calculs du produit scalaire : symétrie, bilinéarité - Exercice 1

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Soient u\left\| \overrightarrow{u} \right\| et v\left\| \overrightarrow{v} \right\| tels que : u=2\left\| \overrightarrow{u} \right\| =2 ; v=3\left\| \overrightarrow{v} \right\| =3 et uv=5\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} =5
Question 1

Calculer : u+v2\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2}

Correction
  • Soient deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} alors :
    u+v2=u2+2uv+v2\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} +2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2}
u+v2=u2+2uv+v2\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} +2\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2} équivaut successivement à :
u+v2=22+2×5+32\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =2^{2} +2\times5 +3 ^{2}
u+v2=4+10+9\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =4 +10 +9
u+v2=23\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\|^{2} =23