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Produit Scalaire : définition par le projeté orthogonal - Exercice 2

12 min
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Dans la figure ci-dessous :
  • ABCABC est un triangle isocèle en AA.
  • AJIBAJIB est un parallélogramme.
  • COA^=OBJ^=π2\widehat{COA}=\widehat{OBJ}=\frac{\pi }{2}.
  • BC=4BC=4.
    • On remarquera que AA et JJ se projettent orthogonalement sur [BC]\left[BC\right] respectivement en OO et BB et comme AJIBAJIB est un parallélogramme IJ→=BA→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{BA} et BI→=AJ→\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AJ}.
    Question 1
    En utilisant la notion de projeté orthogonal, déterminer les produits scalaires suivants :

    BC→⋅BA→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BA}

    Correction
    Soient AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} deux vecteurs non nuls.
    Soit H\red{H} le projeté orthogonal de C\blue{C} sur la droite (AB)\left(AB\right).
    Il vient alors que : AB→⋅AC→=AB→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\blue{C}}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\red{H}}
    • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
      • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
    BC→⋅BA→=BC→⋅BO→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BA} =\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BO} car OO est le projeté orthogonal de AA sur [BC]\left[BC\right]
    BC→⋅BA→=BC→⋅12BC→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BA} =\overrightarrow{BC} \cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} car 12BC→=BO→\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BO}
    BC→⋅BA→=BC×12BC\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BA} =BC\times \frac{1}{2} BC car les vecteurs BC→\overrightarrow{BC} et 12BC→\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} sont colinéaires et de même sens.
    BC→⋅BA→=4×12×4\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BA} =4\times \frac{1}{2}\times 4
    Ainsi :
    BC→⋅BA→=8\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BA} =8
    Question 2

    BC→⋅JC→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{JC}

    Correction
    Soient AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} deux vecteurs non nuls.
    Soit H\red{H} le projeté orthogonal de C\blue{C} sur la droite (AB)\left(AB\right).
    Il vient alors que : AB→⋅AC→=AB→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\blue{C}}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\red{H}}
    BC→⋅JC→=BC→⋅BC→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BC} car BB est le projeté orthogonal de JJ sur [BC]\left[BC\right]
    BC→⋅JC→=BC2\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{JC}=BC^{2}
    BC→⋅JC→=42\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{JC}=4^{2}
    Ainsi :
    BC→⋅JC→=16\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{JC}=16
    Question 3

    BC→⋅AJ→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{AJ}

    Correction
    Soient AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} deux vecteurs non nuls.
    Soit H\red{H} le projeté orthogonal de C\blue{C} sur la droite (AB)\left(AB\right).
    Il vient alors que : AB→⋅AC→=AB→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\blue{C}}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\red{H}}
    Les points AA et JJ se projettent orthogonalement sur [BC]\left[BC\right] respectivement en OO et BB.
    BC→⋅AJ→=BC→⋅OB→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{OB} . Or : OB→=12CB→\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}
    BC→⋅AJ→=BC→⋅12CB→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BC} \cdot\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}
    • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
      • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
    BC→⋅AJ→=−BC×12CB\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{AJ} =-BC\times \frac{1}{2} CB car les vecteurs BC→\overrightarrow{BC} et 12CB→\frac{1}{2}\overrightarrow{CB} sont colinéaires et de sens opposés.
    BC→⋅AJ→=−4×12×4\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{AJ} =-4\times \frac{1}{2}\times 4
    Ainsi :
    BC→⋅AJ→=−8\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{AJ} =-8
    Question 4

    BC→⋅IA→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{IA}

    Correction
    Soient AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} deux vecteurs non nuls.
    Soit H\red{H} le projeté orthogonal de C\blue{C} sur la droite (AB)\left(AB\right).
    Il vient alors que : AB→⋅AC→=AB→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\blue{C}}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\red{H}}
    BC→.IA→=BC→⋅(IJ→+JA→)\overrightarrow{BC} .\overrightarrow{IA} =\overrightarrow{BC} \cdot\left(\overrightarrow{IJ} +\overrightarrow{JA} \right). Nous avons appliquer la relation de Chasles.
    BC→⋅IA→=BC→⋅(BA→+JA→)\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{IA} =\overrightarrow{BC} \cdot\left(\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{JA} \right) . Comme AJIBAJIB est un parallélogramme alors IJ→=BA→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{BA}.
    BC→⋅IA→=BC→⋅BA→+BC→⋅JA→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{IA} =\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BA} +\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{JA}
    BC→⋅IA→=BC→⋅BO→+BC→⋅BO→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{IA} =\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BO} +\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{BO} . Car OO est le projeté orthogonal de AA sur [BC]\left[BC\right]
    • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
      • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
    Les vecteurs BC→\overrightarrow{BC} et BO→\overrightarrow{BO} sont colinéaires et de même sens.
    BC→⋅IA→=BC×BO+BC×BO\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{IA} =BC\times BO+BC\times BO
    BC→⋅IA→=BC×12BC+BC×12BC\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{IA} =BC\times \frac{1}{2} BC+BC\times \frac{1}{2} BC
    BC→⋅IA→=8+8\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{IA} =8+8
    Ainsi :
    BC→⋅IA→=16\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{IA} =16

    Question 5

    BO→⋅BI→\overrightarrow{BO} \cdot\overrightarrow{BI}

    Correction
    Soient AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} deux vecteurs non nuls.
    Soit H\red{H} le projeté orthogonal de C\blue{C} sur la droite (AB)\left(AB\right).
    Il vient alors que : AB→⋅AC→=AB→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\blue{C}}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\red{H}}
    BO→.BI→=BO→⋅AJ→\overrightarrow{BO} .\overrightarrow{BI} =\overrightarrow{BO} \cdot\overrightarrow{AJ} . Comme AJIBAJIB est un parallélogramme alors BI→=AJ→\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AJ}.
    BO→⋅BI→=BO→⋅OB→\overrightarrow{BO} \cdot\overrightarrow{BI} =\overrightarrow{BO} \cdot\overrightarrow{OB} . Les points AA et JJ se projettent orthogonalement sur [BC]\left[BC\right] respectivement en OO et BB.
    • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
      • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
    BO→.BI→=−BO×OB\overrightarrow{BO} .\overrightarrow{BI} =-BO\times OB car les vecteurs BO→\overrightarrow{BO} et OB→\overrightarrow{OB} sont colinéaires et de sens opposés.
    BO→⋅BI→=−12BC×12BC\overrightarrow{BO} \cdot\overrightarrow{BI} =-\frac{1}{2} BC\times \frac{1}{2} BC
    BO→⋅BI→=−12×4×12×4\overrightarrow{BO} \cdot\overrightarrow{BI} =-\frac{1}{2} \times 4\times \frac{1}{2} \times 4
    BO→⋅BI→=−4\overrightarrow{BO} \cdot\overrightarrow{BI} =-4

    Question 6

    BC→⋅CI→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CI}

    Correction
    Soient AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} deux vecteurs non nuls.
    Soit H\red{H} le projeté orthogonal de C\blue{C} sur la droite (AB)\left(AB\right).
    Il vient alors que : AB→⋅AC→=AB→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\blue{C}}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\red{H}}
    BC→⋅CI→=BC→⋅(CJ→+JI→)\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CI} =\overrightarrow{BC} \cdot\left(\overrightarrow{CJ} +\overrightarrow{JI} \right) . On applique la relation de Chasles.
    BC→⋅CI→=BC→⋅(CJ→+AB→)\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{BC} \cdot\left(\overrightarrow{CJ} +\overrightarrow{AB} \right) . Comme AJIBAJIB est un parallélogramme JI⃗=AB⃗\vec{JI}=\vec{AB}.
    BC→⋅CI→=BC→⋅CJ→+BC→⋅AB→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CI} =\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CJ} +\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{AB}
    BC→⋅CI→=BC→⋅CB→+BC→⋅OB→\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CI} =\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CB} +\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{OB} . Les points AA et JJ se projettent orthogonalement sur [BC]\left[BC\right] respectivement en OO et BB.
    • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de même sens alors : AB→⋅AC→=AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
      • Si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires et de sens opposés alors : AB→⋅AC→=−AB×AC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
    BC→⋅CI→=−BC×CB−BC×OB\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CI} =-BC\times CB-BC\times OB
    BC→⋅CI→=−BC2−BC×OB\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CI} =-BC^{2} -BC\times OB
    BC→⋅CI→=−BC2−BC×12BC\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CI} =-BC^{2} -BC\times \frac{1}{2} BC
    BC→⋅CI→=−16−8\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CI} =-16-8
    Ainsi :
    BC→⋅CI→=−24\overrightarrow{BC} \cdot\overrightarrow{CI} =-24

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