Produit Scalaire : définition par le projeté orthogonal - Exercice 2
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Dans la figure ci-dessous :
ABC est un triangle isocèle en A.
AJIB est un parallélogramme.
COA=OBJ=2π.
BC=4.
On remarquera que A et J se projettent orthogonalement sur [BC] respectivement en O et B et comme AJIB est un parallélogramme IJ=BA et BI=AJ.
Question 1
En utilisant la notion de projeté orthogonal, déterminer les produits scalaires suivants :
BC⋅BA
Correction
Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
BC⋅BA=BC⋅BO car O est le projeté orthogonal de A sur [BC] BC⋅BA=BC⋅21BC car 21BC=BO BC⋅BA=BC×21BC car les vecteurs BC et 21BC sont colinéaires et de même sens. BC⋅BA=4×21×4 Ainsi :
BC⋅BA=8
Question 2
BC⋅JC
Correction
BC⋅JC=BC⋅BC car B est le projeté orthogonal de J sur [BC] BC⋅JC=BC2 BC⋅JC=42 Ainsi :
BC⋅JC=16
Question 3
BC⋅AJ
Correction
Les points A et J se projettent orthogonalement sur [BC] respectivement en O et B. BC⋅AJ=BC⋅OB . Or : OB=21CB BC⋅AJ=BC⋅21CB
Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
BC⋅AJ=−BC×21CB car les vecteurs BC et 21CB sont colinéaires et de sens opposés. BC⋅AJ=−4×21×4 Ainsi :
BC⋅AJ=−8
Question 4
BC⋅IA
Correction
BC.IA=BC⋅(IJ+JA). Nous avons appliquer la relation de Chasles. BC⋅IA=BC⋅(BA+JA) . Comme AJIB est un parallélogramme alors IJ=BA. BC⋅IA=BC⋅BA+BC⋅JA BC⋅IA=BC⋅BO+BC⋅BO . Car O est le projeté orthogonal de A sur [BC]
Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
Les vecteurs BC et BO sont colinéaires et de même sens. BC⋅IA=BC×BO+BC×BO BC⋅IA=BC×21BC+BC×21BC BC⋅IA=8+8 Ainsi :
BC⋅IA=16
Question 5
BO⋅BI
Correction
BO.BI=BO⋅AJ . Comme AJIB est un parallélogramme alors BI=AJ. BO⋅BI=BO⋅OB . Les points A et J se projettent orthogonalement sur [BC] respectivement en O et B.
Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
BO.BI=−BO×OB car les vecteurs BO et OB sont colinéaires et de sens opposés. BO⋅BI=−21BC×21BC BO⋅BI=−21×4×21×4
BO⋅BI=−4
Question 6
BC⋅CI
Correction
BC⋅CI=BC⋅(CJ+JI) . On applique la relation de Chasles. BC⋅CI=BC⋅(CJ+AB) . Comme AJIB est un parallélogramme JI=AB. BC⋅CI=BC⋅CJ+BC⋅AB BC⋅CI=BC⋅CB+BC⋅OB . Les points A et J se projettent orthogonalement sur [BC] respectivement en O et B.
Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC
Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
BC⋅CI=−BC×CB−BC×OB BC⋅CI=−BC2−BC×OB BC⋅CI=−BC2−BC×21BC BC⋅CI=−16−8 Ainsi :