Produit scalaire
Produit Scalaire : définition par le projeté orthogonal
Exercice 1
Le quadrillage des petits carreaux sont de mesure 1 .
1
Calculer AB⋅AC 
Correction
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
Il vient alors que :
AB⋅AC=−AB×AC
AB⋅AC=−5×2
AB⋅AC=−10
2
Calculer AB⋅AC
Correction
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
Il vient alors que :
AB⋅AC=−AB×AC
AB⋅AC=−4×4
AB⋅AC=−16
3
Calculer AB⋅AC
Correction
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
Il vient alors que :
AB⋅AC=AB×AC
AB⋅AC=2×8
AB⋅AC=16
4
Calculer AB⋅AC
Correction
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
AB⋅AC=AB⋅AH
Il vient alors que :
AB⋅AC=AB⋅AH=AB×AH
AB⋅AC=5×3
AB⋅AC=15
5
Calculer AB⋅AC
Correction
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
AB⋅AC=AB⋅AH
Il vient alors que :
AB⋅AC=AB⋅AH=−AB×AH
AB⋅AC=−4×5
AB⋅AC=−20
Exercice 2
Dans la figure ci-dessous :
ABC est un triangle isocèle en A. AJIB est un parallélogramme. COA=OBJ=2π. BC=4. 
On remarquera que A et J se projettent orthogonalement sur [BC] respectivement en O et B et comme AJIB est un parallélogramme IJ=BA et BI=AJ.
En utilisant la notion de projeté orthogonal, déterminer les produits scalaires suivants :
1
BC⋅BA
Correction
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
BC⋅BA=BC⋅21BC car 21BC=BO
BC⋅BA=BC×21BC car les vecteurs BC et 21BC sont colinéaires et de même sens.
BC⋅BA=4×21×4
Ainsi :
BC⋅BA=8
2
BC⋅JC
Correction
BC⋅JC=BC2
BC⋅JC=42
Ainsi :
BC⋅JC=16
3
BC⋅AJ
Correction
BC⋅AJ=BC⋅OB . Or : OB=21CB
BC⋅AJ=BC⋅21CB
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
BC⋅AJ=−4×21×4
Ainsi :
BC⋅AJ=−8
4
BC⋅IA
Correction
BC⋅IA=BC⋅(BA+JA) . Comme AJIB est un parallélogramme alors IJ=BA.
BC⋅IA=BC⋅BA+BC⋅JA
BC⋅IA=BC⋅BO+BC⋅BO . Car O est le projeté orthogonal de A sur [BC]
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
BC⋅IA=BC×BO+BC×BO
BC⋅IA=BC×21BC+BC×21BC
BC⋅IA=8+8
Ainsi :
BC⋅IA=16
5
BO⋅BI
Correction
BO⋅BI=BO⋅OB . Les points A et J se projettent orthogonalement sur [BC] respectivement en O et B.
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
BO⋅BI=−21BC×21BC
BO⋅BI=−21×4×21×4
BO⋅BI=−4
6
BC⋅CI
Correction
BC⋅CI=BC⋅(CJ+AB) . Comme AJIB est un parallélogramme JI=AB.
BC⋅CI=BC⋅CJ+BC⋅AB
BC⋅CI=BC⋅CB+BC⋅OB . Les points A et J se projettent orthogonalement sur [BC] respectivement en O et B.
- Si AB et AC sont colinéaires et de même sens alors : AB⋅AC=AB×AC Si AB et AC sont colinéaires et de sens opposés alors : AB⋅AC=−AB×AC
BC⋅CI=−BC2−BC×OB
BC⋅CI=−BC2−BC×21BC
BC⋅CI=−16−8
Ainsi :
BC⋅CI=−24
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