Se connecter
S'inscrire
Formules
Blog
Se connecter
Retour au chapitre
Produit scalaire
Produit Scalaire : définition par le projeté orthogonal - Exercice 1
10 min
20
Question 1
Le quadrillage des petits carreaux sont de mesure
1
1
1
.
Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de même sens alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
A
B
×
A
C
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de sens opposés alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
Les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires mais ont des sens opposés.
Il vient alors que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
5
×
2
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-5\times 2
A
B
⋅
A
C
=
−
5
×
2
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
10
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-10
A
B
⋅
A
C
=
−
10
Question 2
Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de même sens alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
A
B
×
A
C
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de sens opposés alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
Les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires mais ont des sens opposés.
Il vient alors que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
4
×
4
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-4\times 4
A
B
⋅
A
C
=
−
4
×
4
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
16
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-16
A
B
⋅
A
C
=
−
16
Question 3
Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de même sens alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
A
B
×
A
C
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de sens opposés alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
Les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de même sens.
Il vient alors que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
A
B
×
A
C
A
B
→
⋅
A
C
→
=
2
×
8
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =2\times 8
A
B
⋅
A
C
=
2
×
8
A
B
→
⋅
A
C
→
=
16
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =16
A
B
⋅
A
C
=
16
Question 4
Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de même sens alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
A
B
×
A
C
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de sens opposés alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
Soit
H
H
H
le projeté orthogonal de
C
C
C
sur le segment
[
A
B
]
\left[AB\right]
[
A
B
]
. Il en résulte donc que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
→
⋅
A
H
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}
A
B
⋅
A
C
=
A
B
⋅
A
H
Les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
H
→
\overrightarrow{AH}
A
H
sont colinéaires et de même sens.
Il vient alors que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
→
⋅
A
H
→
=
A
B
×
A
H
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=AB\times AH
A
B
⋅
A
C
=
A
B
⋅
A
H
=
A
B
×
A
H
A
B
→
⋅
A
C
→
=
5
×
2
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =5\times 2
A
B
⋅
A
C
=
5
×
2
A
B
→
⋅
A
C
→
=
10
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =10
A
B
⋅
A
C
=
10
Question 5
Calculer
A
B
→
⋅
A
C
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
A
B
⋅
A
C
Correction
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de même sens alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
A
B
×
A
C
Si
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
C
→
\overrightarrow{AC}
A
C
sont colinéaires et de sens opposés alors :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
A
B
×
A
C
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-AB\times AC
A
B
⋅
A
C
=
−
A
B
×
A
C
Soit
H
H
H
le projeté orthogonal de
C
C
C
sur la droite
(
A
B
)
\left(AB\right)
(
A
B
)
. Il en résulte donc que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
→
⋅
A
H
→
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}
A
B
⋅
A
C
=
A
B
⋅
A
H
Les vecteurs
A
B
→
\overrightarrow{AB}
A
B
et
A
H
→
\overrightarrow{AH}
A
H
sont colinéaires mais de sens opposés.
Il vient alors que :
A
B
→
⋅
A
C
→
=
A
B
→
⋅
A
H
→
=
−
A
B
×
A
H
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}=-AB\times AH
A
B
⋅
A
C
=
A
B
⋅
A
H
=
−
A
B
×
A
H
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
4
×
5
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-4\times 5
A
B
⋅
A
C
=
−
4
×
5
A
B
→
⋅
A
C
→
=
−
20
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =-20
A
B
⋅
A
C
=
−
20