Produit scalaire

Produit scalaire : définition par la norme - Exercice 1

10 min
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Question 1
Calculer ABAD\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} à l'aide de la figure ci-dessous :

Correction
On appelle produit scalaire de deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v}, le nombre réel noté u.v\vec{u}.\vec{v} tel que :
uv=12(u+v2u2v2)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2} \right)
ABAD=12(AB+AD2AB2AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
Comme ABCDABCD est un parallélogramme, on a : AD=BC\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, il vient alors que :
ABAD=12(AB+BC2AB2AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
ABAD=12(AC2AB2AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
ABAD=12(AC2AB2AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(AC^{2} -AB^{2} -AD^{2} \right)
ABAD=12(1125232)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(11^{2} -5^{2} -3^{2} \right)
ABAD=12×87\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \times 87
Ainsi :
ABAD=872\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=\frac{87}{2}

Question 2

Correction
On appelle produit scalaire de deux vecteurs u\vec{u} et v\vec{v}, le nombre réel noté u.v\vec{u}.\vec{v} tel que :
uv=12(u+v2u2v2)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{u} +\overrightarrow{v} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{u} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{v} \right\| ^{2} \right)
ABAD=12(AB+AD2AB2AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
Comme ABCDABCD est un parallélogramme, on a : AD=BC\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, il vient alors que :
ABAD=12(AB+BC2AB2AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
ABAD=12(AC2AB2AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2} \left(\left\| \overrightarrow{AC} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AB} \right\| ^{2} -\left\| \overrightarrow{AD} \right\| ^{2} \right)
ABAD=12(AC2AB2AD2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(AC^{2} -AB^{2} -AD^{2} \right)
ABAD=12(926242)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \left(9^{2} -6^{2} -4^{2} \right)
ABAD=12×29\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD} =\frac{1}{2} \times 29
Ainsi :
ABAD=292\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AD}=\frac{29}{2}