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Produit scalaire : définition avec le cosinus - Exercice 4

5 min
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Soit ABCABC un triangle sachant que AB=6AB=6 , AC=5AC=5 et AB→⋅AC→=−20\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-20
Question 1

Calculer la mesure en degré de l'angle BAC^\widehat{BAC} .

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
−20=6×5×cos⁡(BAC^)-20 =6 \times 5\times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
−20=30×cos⁡(BAC^)-20 =30\times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
−2030=cos⁡(BAC^)-\frac{20 }{30} =\cos \left(\widehat{BAC}\right)
−23=cos⁡(BAC^)-\frac{2}{3} =\cos \left(\widehat{BAC}\right)
Avec la calculatrice, on obtient BAC^≈131,8∘\widehat{BAC}\approx 131,8^{\circ } . (Valeur arrondie à 10−110^{-1} degrè près) .