Produit scalaire

Produit scalaire : définition avec le cosinus - Exercice 3

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Soit ABCABC un triangle sachant que AB=32AB=\frac{3}{2} , AC=4AC=4 et AB→⋅AC→=33\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=3\sqrt{3}
Question 1

Calculer la mesure en degré de l'angle BAC^\widehat{BAC} .

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
33=32×4×cos⁡(BAC^)3\sqrt{3} =\frac{3}{2} \times 4\times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
33=6×cos⁡(BAC^)3\sqrt{3} =6\times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
336=cos⁡(BAC^)\frac{3\sqrt{3} }{6} =\cos \left(\widehat{BAC}\right)
32=cos⁡(BAC^)\frac{\sqrt{3} }{2} =\cos \left(\widehat{BAC}\right)
Avec la calculatrice, on obtient BAC^=30∘\widehat{BAC}=30^{\circ } .