Produit scalaire

Produit scalaire : définition avec le cosinus - Exercice 3

5 min
10
Question 1
Soit ABCABC un triangle sachant que AB=32AB=\frac{3}{2} , AC=4AC=4 et ABAC=33\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=3\sqrt{3}

Calculer la mesure en degré de l'angle BAC^\widehat{BAC} .

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
ABAC=AB×AC×cos(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
33=32×4×cos(BAC^)3\sqrt{3} =\frac{3}{2} \times 4\times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
33=6×cos(BAC^)3\sqrt{3} =6\times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
336=cos(BAC^)\frac{3\sqrt{3} }{6} =\cos \left(\widehat{BAC}\right)
32=cos(BAC^)\frac{\sqrt{3} }{2} =\cos \left(\widehat{BAC}\right)
Avec la calculatrice, on obtient BAC^=30\widehat{BAC}=30^{\circ } .