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Produit scalaire
Produit scalaire : définition avec le cosinus - Exercice 3
5 min
10
Soit
A
B
C
ABC
A
BC
un triangle sachant que
A
B
=
3
2
AB=\frac{3}{2}
A
B
=
2
3
,
A
C
=
4
AC=4
A
C
=
4
et
A
B
→
⋅
A
C
→
=
3
3
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=3\sqrt{3}
A
B
⋅
A
C
=
3
3
Question 1
Calculer la mesure en degré de l'angle
B
A
C
^
\widehat{BAC}
B
A
C
.
Correction
Le produit scalaire de deux vecteurs
u
→
\overrightarrow{u}
u
et
v
→
\overrightarrow{v}
v
non nuls est défini par :
u
→
⋅
v
→
=
∥
u
→
∥
×
∥
v
→
∥
×
cos
(
u
→
,
v
→
)
\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
u
⋅
v
=
∥
∥
u
∥
∥
×
∥
∥
v
∥
∥
×
cos
(
u
,
v
)
A
B
→
⋅
A
C
→
=
∥
A
B
→
∥
×
∥
A
C
→
∥
×
cos
(
B
A
C
^
)
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
A
B
⋅
A
C
=
∥
∥
A
B
∥
∥
×
∥
∥
A
C
∥
∥
×
cos
(
B
A
C
)
3
3
=
3
2
×
4
×
cos
(
B
A
C
^
)
3\sqrt{3} =\frac{3}{2} \times 4\times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
3
3
=
2
3
×
4
×
cos
(
B
A
C
)
3
3
=
6
×
cos
(
B
A
C
^
)
3\sqrt{3} =6\times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
3
3
=
6
×
cos
(
B
A
C
)
3
3
6
=
cos
(
B
A
C
^
)
\frac{3\sqrt{3} }{6} =\cos \left(\widehat{BAC}\right)
6
3
3
=
cos
(
B
A
C
)
3
2
=
cos
(
B
A
C
^
)
\frac{\sqrt{3} }{2} =\cos \left(\widehat{BAC}\right)
2
3
=
cos
(
B
A
C
)
Avec la calculatrice, on obtient
B
A
C
^
=
3
0
∘
\widehat{BAC}=30^{\circ }
B
A
C
=
3
0
∘
.