Produit scalaire

Produit scalaire : définition avec le cosinus - Exercice 2

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Question 1
Dans chacun des cas suivants calculer : AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}

AB=4AB=4 , AC=2AC=2 et BAC^=45\widehat{BAC}=45°

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
Ici, il est important de donner l'angle en radians pour appliquer la formule. Il vient alors que :
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
AB→⋅AC→=4×2×cos⁡(π4)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =4\times 2\times \cos \left(\frac{\pi}{4} \right)
AB→⋅AC→=4×2×22\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}=4\times 2\times \frac{\sqrt{2} }{2}
AB→⋅AC→=4×2\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =4\times \sqrt{2}
Question 2

AB=7AB=7 , AC=3AC=3 et BAC^=−5π6\widehat{BAC}=-\frac{5\pi}{6}

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)
Ici, il est important de donner l'angle en radians pour appliquer la formule. Il vient alors que :
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(AB→,AC→)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =\left\| \overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{AC} \right)
AB→⋅AC→=7×3×cos⁡(−5π6)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =7\times 3\times \cos \left(-\frac{5\pi}{6} \right)
AB→⋅AC→=7×3×(−32)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}=7\times 3\times \left(-\frac{\sqrt{3} }{2} \right)
AB→⋅AC→=−2132\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =-\frac{21\sqrt{3} }{2}