Produit scalaire

Produit scalaire : définition analytique - Exercice 3

5 min
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Question 1
Dans un repère orthonormé (O;i;j)\left(O;\vec{i} ;\vec{j}\right) , on donne : A(4;1)A\left(4;1\right) , B(0;5)B\left(0;5\right) et C(2;1)C\left(-2;-1\right)

Calculer : ABAC\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}

Correction
  • Dans un repère orthonormé (O;i;j)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x;y)\left(x';y'\right) est égal à :
    uv=xx+yy\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
Commençons par calculer les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC}
AB(4;4)\overrightarrow{AB}\left(-4;4\right) et AC(6;2)\overrightarrow{AC}\left(-6;-2\right).
Il en résulte que :
ABAC=(4)×(6)+4×(2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}=\left(-4\right)\times \left(-6\right) + 4\times \left(-2\right)
ABAC=16\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =16
Question 2

En déduire que cos(BAC^)=15\cos \left(\widehat{BAC} \right)=\frac{1}{\sqrt{5} } et donner une mesure , à un degré près, de BAC^\widehat{BAC}.

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    uv=u×v×cos(u,v)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)

Nous allons commencer par donner les normes des vecteurs AB\overrightarrow{AB} et AC\overrightarrow{AC}.
D'une part :
AB=(4)2+42\left\| \overrightarrow{AB} \right\| =\sqrt{\left(-4\right)^{2} +4^{2} }
AB=42\left\| \overrightarrow{AB} \right\| =4\sqrt{2}
D'autre part :
AC=(6)2+(2)2\left\| \overrightarrow{AC} \right\| =\sqrt{\left(-6\right)^{2} +\left(-2\right)^{2} }
AC=210\left\| \overrightarrow{AC} \right\| =2\sqrt{10}

Nous appliquons la formule du produit scalaire
ABAC=AB×AC×cos(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =\left\|\overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
ABAC=42×210×cos(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =4\sqrt{2} \times 2\sqrt{10} \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
ABAC=165×cos(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =16\sqrt{5} \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
Or : ABAC=16\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =16 d'après la question 11.
Il en résulte que :
16=165×cos(BAC^)16 =16\sqrt{5} \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
Ainsi , on a bien :
cos(BAC^)=15\cos \left(\widehat{BAC}\right)=\frac{1}{\sqrt{5} }

Maintenant, à l'aide de la calculatrice, on obtient : BAC^=63\widehat{BAC}=63 degrés, au degrés près.