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Produit scalaire : définition analytique - Exercice 3

5 min
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Dans un repère orthonormé (O;i⃗;j⃗)\left(O;\vec{i} ;\vec{j}\right) , on donne : A(4;1)A\left(4;1\right) , B(0;5)B\left(0;5\right) et C(−2;−1)C\left(-2;-1\right)
Question 1

Calculer : AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}

Correction
  • Dans un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x′;y′)\left(x';y'\right) est égal à :
    u→⋅v→=xx′+yy′\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
Commençons par calculer les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}
AB→(−4;4)\overrightarrow{AB}\left(-4;4\right) et AC→(−6;−2)\overrightarrow{AC}\left(-6;-2\right).
Il en résulte que :
AB→⋅AC→=(−4)×(−6)+4×(−2)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}=\left(-4\right)\times \left(-6\right) + 4\times \left(-2\right)
AB→⋅AC→=16\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =16
Question 2

En déduire que cos⁡(BAC^)=15\cos \left(\widehat{BAC} \right)=\frac{1}{\sqrt{5} } et donner une mesure , à un degré près, de BAC^\widehat{BAC}.

Correction
  • Le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} non nuls est défini par :
    u→⋅v→=∥u→∥×∥v→∥×cos⁡(u→,v→)\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v} =\left\| \overrightarrow{u} \right\| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\| \times \cos \left(\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{v} \right)

Nous allons commencer par donner les normes des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
D'une part :
∥AB→∥=(−4)2+42\left\| \overrightarrow{AB} \right\| =\sqrt{\left(-4\right)^{2} +4^{2} }
∥AB→∥=42\left\| \overrightarrow{AB} \right\| =4\sqrt{2}
D'autre part :
∥AC→∥=(−6)2+(−2)2\left\| \overrightarrow{AC} \right\| =\sqrt{\left(-6\right)^{2} +\left(-2\right)^{2} }
∥AC→∥=210\left\| \overrightarrow{AC} \right\| =2\sqrt{10}

Nous appliquons la formule du produit scalaire
AB→⋅AC→=∥AB→∥×∥AC→∥×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =\left\|\overrightarrow{AB} \right\| \times \left\| \overrightarrow{AC} \right\| \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
AB→⋅AC→=42×210×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =4\sqrt{2} \times 2\sqrt{10} \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
AB→⋅AC→=165×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =16\sqrt{5} \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
Or : AB→⋅AC→=16\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =16 d'après la question 11.
Il en résulte que :
16=165×cos⁡(BAC^)16 =16\sqrt{5} \times \cos \left(\widehat{BAC}\right)
Ainsi , on a bien :
cos⁡(BAC^)=15\cos \left(\widehat{BAC}\right)=\frac{1}{\sqrt{5} }

Maintenant, à l'aide de la calculatrice, on obtient : BAC^=63\widehat{BAC}=63 degrés, au degrés près.

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