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Produit scalaire : définition analytique - Exercice 2

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Question 1

Dans un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , on a : A(1;2)A\left(1;2\right) , B(−2;3)B\left(-2;3\right) et C(0;5)C\left(0;5\right)
Calculer : AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}

Correction
  • Dans un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x′;y′)\left(x';y'\right) est égal à :
    u→⋅v→=xx′+yy′\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
Commençons par calculer les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}
AB→(−3;1)\overrightarrow{AB}\left(-3;1\right) et AC→(−1;3)\overrightarrow{AC}\left(-1;3\right).
Il en résulte que :
AB→⋅AC→=(−3)×(−1)+1×3\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC}=\left(-3\right)\times\left(-1\right) + 1\times 3
AB→⋅AC→=6\overrightarrow{AB} \cdot\overrightarrow{AC} =6

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