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Produit scalaire : définition analytique - Exercice 1

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Question 1

On considère un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) . Calculer : AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
Dans le repère, nous pouvons lire facilement les cordonnées des points. Nous avons donc A(3;−2)A\left(3;-2\right) , B(−3;−1)B\left(-3;-1\right) et C(−1;3)C\left(-1;3\right).
  • Dans un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x′;y′)\left(x';y'\right) est égal à :
    u→⋅v→=xx′+yy′\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
Commençons par calculer les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}
AB→(−6;1)\overrightarrow{AB}\left(-6;1\right) et AC→(−4;5)\overrightarrow{AC}\left(-4;5\right).
Il en résulte que :
AB→⋅AC→=(−6)×(−4)+1×5\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\left(-6\right)\times \left(-4\right) + 1\times 5
AB→⋅AC→=29\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =29

Question 2

On considère un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) . Calculer : AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}

Correction
Dans le repère, nous pouvons lire facilement les cordonnées des points. Nous avons donc A(2;2)A\left(2;2\right) , B(−1;1)B\left(-1;1\right) et C(3;−1)C\left(3;-1\right).
  • Dans un repère orthonormé (O;i→;j→)\left(O;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right) , le produit scalaire de deux vecteurs u→\overrightarrow{u} et v→\overrightarrow{v} de coordonnées respectives (x;y)\left(x;y\right) et (x′;y′)\left(x';y'\right) est égal à :
    u→⋅v→=xx′+yy′\overrightarrow{u} \cdot\overrightarrow{v}=xx'+yy'
Commençons par calculer les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}
AB→(−3;−1)\overrightarrow{AB}\left(-3;-1\right) et AC→(1;−3)\overrightarrow{AC}\left(1;-3\right).
Il en résulte que :
AB→⋅AC→=(−3)×1+(−1)×(−3)\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\left(-3\right)\times 1 + \left(-1\right)\times \left(-3\right)
AB→⋅AC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =0

Dans cette situation, cela signifie que les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont orthogonaux. Il en résulte donc que le triangle BACBAC est rectangle en AA.